Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
вектором еъ. При этом второй репер (описываемый вращением gx) получается
из первого поворотом на угол ср* в положительном направлении вокруг е3.
Если ех и е2 - векторы первого репера, а"|и е'г - соответствующие векторы
второго, то по обычным формулам имеем:
е'г = ех cos ср* -(- е2 sin ср*,
е'2 = - gj sin ср* -j- е2 cos ср*.
Положим cpi = тс и обозначим ср* через срх и ек(т:, 6, св2), k~l, 2,
через Мы получим тогда:
ei(?i + *4 (r)> ?2) = e?cos?i + (?°sin 9V 1 е2^1 + т'' (r)> 9%) == - ei sin
cpj + е2cos9\- j
Векторы е° - е1(к, 0, ср2) и е° = е2(т:, 0, ср2) имеют простой
геометрический смысл, а именно, это - единичные векторы, направленные по
касательным к параллели и меридиану сферы в точке Р. Действительно,
полагая ь матрице |[gjfcl|<рх = и, найдем выражения для декартовых
координат этих векторов: ех - (-coscp2, -sin ср2, 0), e2 = (cos0 sin
ср2,-cos 6 cos cp2, -sin 0). С другой стороны, из рис. 7 видно, что
единичный вектор е0, направленный по касательной к параллели в сторону
возрастания ср, имеет компоненты (-sin ср, coscp, 0), а - вектор,
направленный по касательной к меридиану в сторону возрастания &, имеет
компоненты (cos& coscp, cos О sin ср, -sin &). Учитывая, что сферические
координаты & и ср точки Р, в которой помещен репер, связаны с углами
Эйлера 0 и ср2 формулами (3), находим отсюда, что е(r) = - еа, е°-е&.
Таким образом, окончательно
MTi + 'k- (r)- ?2) = - e<f cos cpj -(- е&sin cpt, j
e2(cP1 + TC- (r)> 92) - e<? sin cpi + cos cpi, } (4)
ез(сР1 + тс> 0. 92) = er, J
где er, ee, - единичные векторы, направленные по нормали к сфере
и по касательным к параллели и меридиану сферы в точке Р со
сферическими'координатами ср = ср2 ^ и & = 0.
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
113
Рассмотрим теперь какую-нибудь векторную функцию а(Р) (векторное поле на
сфере). Если имеется некоторый репер с началом в точке Р, то, разложив
а(Р) по векторам этого репера, получим три числа ах, а2 и аъ - компоненты
а по векторам репера. Эти числа, как и сами векторы репера, являются
функциями от вращения g, т. е. от з^глов Эйлера ср4, 0, ср2. При этом,
так как еъ не зависит от ср!, то компонента а3 также не зависит от срх.
Она совпадает с рассмотренной нами выше функцией аг(Р) в точке Р со
сферическими координатами ср2 - у и 0.
Из формулы (4) видно, как компоненты аг и а2 зависят от ср!.
Действительно, умножив обе части равенства (4) скалярно на а (Р), мы
получим, что
ai (?i + ". 0> Тг) = - а? cos cpj аь sin сри \
а2 (?i + 0. <рг) - ао sin 9i + а" cos срь } (5)
a3^i-sr'R> 0. 'рг) - аг- ^
Напомним, как выразить компоненты и %, а также аг через
обычные компоненты а, т. е. через а.х, ау и аг. Нам нужно для этого взять
скалярное произведение вектора а - (ах, ау, az) на векторы = (- sin о,
cos ср, 0), е§ - (cosft cos ср, cos ft sin ср,-sinft) и er = = (sin & cos
ср, sin ft sin cp, cos ft).
ao (?> ft) - -- sin cp -j- cos cp, |
ab (cp, ft) = ax cos ft cos cp -j- ay cos ft sin cp - az sin ft, } (6)
ar (cp, ft) = ax sin ft cos с?-\-ay sin ft sin cp -j-a3 cos ft. J
Для дальнейшего удобнее ввести комплексные компоненты вектора
а+ - а1 - 1а2, a_=ai-\- 1а2.
Из (5) получаются для а+ и а_ выражения
а+(с?о Тг) = о+(я, 6> - а9 - iad)ei!?h |
а_ (cpi> 0, ср2) = а_ (к, 0, <f2)e~ib - (-a^-\-iab) "-*?., J
а? и аа берутся в точке с координатами ср = ср2 ft = 0.
Рассмотрим теперь, что происходит с функциями аи а2 и а3
(или, что все равно, с функциями а+, а_ и аг) при вращении. Под-
вергнем векторное поле и рассматриваемые реперы вращению g"0. Поскольку и
векторы поля а (Р) и векторы реперов подвергаются одному и тому же
вращению, то ясно, что компоненты повернутого вектора а' в новом репере
совпадают с компонентами старого вектора а в старом репере. Старый репер
задается с помощью вращения g.
114 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. 1
а новый, как мы видели выше, с помощью g0g. Таким образом, мы имеем:
aUgog) = ak(g) или, обозначая g0g через g,
o_1S> (8)
Мы видим, таким образом, что функции ax(g), a2{g) и a3(g),
а следовательно, и а+ (g), a_(g) и a3(g) при вращении преобразуются
независимо друг от друга, т. е. преобразования каждой из этих
компонент сами по себе порождают некоторое представление группы вращений.
Разлагая каждое из этих представлений на неприводимые, мы получим для
введенных компонент вектора а(Р) разложения, инвариантные относительно
вращений и независимые друг от друга, т. е. не перепутывающиеся при
вращении.
В § 7 мы решали задачу о разложении представления преобразованиями
функций от вращения (регулярного представления) на неприводимые. Однако
там из соображен iPi несколько большего удобства мы в качестве
преобразования, отвечающего вращению g0, рассматривали умножение g на g0
справа, а не умножение на g~! слева. Можно без труда перейти от одних
преобразований к другим. Для этого достаточно вместо функций ak(g)
рассматривать функции ak(g) = = aJc(g~1)' что сводится к замене
аргументов срх, 0, (r)2 У этих функций на тс - ср2> 6. - <pi- После
