Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
'96 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
получить обобщенную сферическую функцию Тгтп(cplt 0, ср2), надо умножить
элемент соответствующей матрицы, стоящий на пересечении т-й строки и п-го
столбца, на
Функции Tlmn(cpj, 6, ср2) при целом I и при т = 0 имеют вид
Топ(?1> 0. ?2) =
- g-inft с_1")Z j-n 1П-~ (1 _________и,2} ^ ^1 " (1 __и,2^
е ( 1)1 21-И У (1 - пуЛ Р Iх-'-
Сравнивая эту функцию с соответствующей сферической функцией Pro порядка
К" (ср, 8) (см. формулу (14) § 3), мы видим, что
Tin(?!, е, ?2) = /"27^1 ^ е) • (24)
т. е. элементы нулевой (центральной) строки матрицы Тд (такая строка
существует, естественно, только у матриц нечетного порядка, дающих
представления с целым весом I), с точностью до множителя j/~и замены ср
на -g--ср совпадают со сферическими
функциями Pro порядка*). В частности, Роо(рО совпадает с обыч-
1
ным (не нормированным условием j'pf (у.) - 1) многочленом
-1
Лежандра.
При произвольных шип функции (р.) тесно связаны с другими встречающимися
в анализе многочленами-многочленами Якоби. Соответствующая формула будет
дана несколько ниже.
Рассмотрим, какие свойства функций Plmn{р-) вытекают из унитарности
матриц Тд. Пусть вращение g задано углами Эйлера ср!, 0, ср2. Тогда
вращение g~x определяется углами Эйлера тг - ср2, 0, я- cpt (см. §1) и
условие унитарности
fry - 1 fjy
д=Тд =Тд-1
дает для элементов матрицы Тд соотношение
Tnm(.Vl> е> ?2)=Ттп(к-<р2" 0. л-<Pi)*
*) Формулу (24) можно было бы вывести, пользуясь тем, что элементы
нулевой строки не зависят от ?2 и могут быть рассматриваемы как функции
на поверхности сферы (ср. § 3).
П. 4] § 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 97
Сокращая на eirmfieinимеем:
= (25)
или, полагая cos6 = |a,
Ртп (ц) = Pnmip) ¦ (-1)т+п. (250
Так как в силу формулы (23) Ргпт([а) содержит множителем in~m, то Рпт(у)
- (-1)п~тРпт(и-)- Итак, окончательно
Ртп (^) = Plnm ((А), (26)
т. е. матраца аз функций Р1тп ([а) симметрична относительно главной
диагонали.
Отсюда следует, что функцию Р1тп(ф) можно наряду с формулами (23)
записать в следующем виде:
т~п т + п Л-т \
Ртп(у)=А'( 1 -[А) 2 (1+(А) 2 fr^[(l-(A)l-n(l+|*)l + n].
Й[А |
где >
А' - (- \)1~п ¦ 1Ш " ЛГV ~п)! V + т)!
2l (I-п)! V (I -\- п)\ (/- т)!
(230
Еще одно свойство симметрии, которым обладают функции Р1тп (;а), вытекает
из следующего замечания. Рассмотрим вращение g0 с углами Эйлера (0, тг,
0) (поворот на 180° вокруг оси Ох). При Этом вращении |a = costt = -¦ 1,
т. е. |а -|- 1 = 0 и элементы соответствующей этому вращению матрицы Тд>
обращаются в нуль при т-\-пф 0 (см. формулу (23)). При =- т мы имеем:
Тт,~т - Рт,-т{ !) = (------- !)*•
Пусть теперь g- произвольное вращение с углами Эйлера срг, 0, сэ2 и
7'mn(cp1, 0, ср2) - элемент матрицы Т , отвечающей этому вращению.
Рассмотрим вращение g = g0ggo1. Ему отвечает матрица Тд = Тд,{ГдТ \.
Перемножив соответствующие матрицы, легко убедиться, что элемент, стоящий
на пересечении т-й строки и /г-го столбца матрицы Тд, есть Т_т>_п (срх,
0, ср2). С другой стороны, вращение g изменяет направление двух
координатных осей Оу и Oz. Поэтому, если g = g(<?1, 6, ср2), то g =
g0ggo1 =g(- ?i> 6. - ?2) *)•
*) Действительно, матрицу g = gogg0 1 можно рассматривать как матрицу
того же вращения g в новой системе координат, полученную из старой
вращением g0. А эта система отличается от старой тем, что направления
осей Gy и Oz изменены на обратные.
98 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. *
Следовательно, Тд = Т(-cpt, 0,- ср2), и мы имеем равенство
Т-m, -я(?1> ?г) - Ттп(. ?i> (r)> 'Рг)*
Сокращая на eim^ егп^ и полагая cos 0 = рь, получаем отсюда:
Р1-ш,^) = Ртп{ ц). (27)
Из свойств симметрии функций Р1тп (р.) очевидно, что эти функции зависят
на самом деле не от индексов т и л, а от \ m-\-n\ и | т - п |.
Укажем, наконец, на связь функций Р1тп{Iх) с упоминавшимися выше
многочленами Якоби. Многочленами Якоби называются многочлены вида
(1*) = -^т(1 - "*>""(1 + -ТЪ К1 -+ ^+рь
2 s • s! dp
Очевидно, если положить s - l-~ {\m-\-п\-\-\т - п |), а =
= \п - т\ и р = | /г -j- m. |, то функции Plmn(<f) будут выражаться через
многочлен Якоби Р^ (р) п0 формуле
_2 J Plnni&^Ki 1-!^)2 (1 +!*)*/>;%),
где К-постоянная.
Заметим, что из унитарности матрицы Tmn(g) следует также,
что
4-1
2 I Ртп (COS 0) |2 =1.
п~ -I
5. Формула сложения для матричных элементов. Формула (3)
этого параграфа Tmn(g'g") = ^ Tws (§') Tsn ig") представляет собой
в=-г
формулу сложения для обобщенных сферических функций. Она содержит как
частный случай обычную формулу сложения для многочленов Лежандра. Выпишем
общую формулу сложения в явном виде. Пусть вращение g' определяется
углами Эйлера 0, 0' ср', вращение g" - углами ср", 0", 0 и, наконец,
вращение g = g'g" - углами cpt, 6, ср2. Тогда
s=l
TmniVl, 0. ?2)= ^ Tms(0, в', ср')Г8"(ср", в", 0).
8= -1
Заменяя Ттп(ср1; 0, ср2) через е~*тъ Ргтп (cos 0) e~inf* и обозначая
П. 5] § 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 99
