Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если матрица В не вырождена, то, применяя к обеим частям матрицу В~1, мы
получим систему вида (1) (с у = 1). Точно так же, применив к системе
любую матрицу СВ-1, мы можем сделать матрицу, применяющуюся к функции ф,
равной С. Заметим, что применение к системе некоторой невырожденной
матрицы не меняет систему, так как оно означает замену данных уравнений
их линейными комбинациями.
126 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. 1
разложения по обобщенным сферическим функциям сведем решение этой системы
к решению системы обыкновенных уравнений первого порядка с тем же числом
уравнений и неизвестных функций, разрешимой в комбинациях цилиндрических
функций.
1. Определение инвариантных уравнений. Чтобы найти вид инвариантных
уравнений, запишем, прежде всего, условие инвариантности системы (1).
Подвергнем пространство вращению g : х' - g~1(i.
з
т. е. сделаем замену независимых переменных х'. = gkixk. Вместо ф
& = i
мы должны при этом подставить в уравнение преобразованную величину ф/ =
Т^ф. Заменяя ф через Тд 1ф/, а дифференцирования по хк
дифференцированиями по х( по формуле
дхг
Sik '
мы получим систему
3
i = l
gilL:
dx't
' Si2^2
Нт^/)
dx\
д(т~Ц')
дх'
или, так как Т-постоянная матрица, систему
г L Т-1 дУ >"Ь1 0 ту дх;
¦ gizLvT,
-1 ду
дх.
. L т-i W
13 3 1 л 7
- gii 3
У.Тд у = 0
+ *т-у = о.
Для того чтобы потребовать совпадения полученной системы уравнений с
системой (1), сделаем сначала коэффициент при ф' равным %, применив к
получившейся системе преобразование Т . Мы получим систему
'УJ У_1 gikTgLkT
-1 _сфф в дх{
+ хф' = 0.
(2)
Требование инвариантности означает, следовательно, что для любого
вращения g между матрицами Lk должны иметь место соотношения
2 gikTgLkTg - Lx.
(3)
Запишем условие инвариантности еще в другом, иногда более удобном, виде.
Для этого рассмотрим матрицу 2^"Л> гДе Ри Рг> Рз- компоненты некоторого
вектора. Так как при вращении матрица Lt заменяется на ^ giJfLk, то
2переходит в 2УР*> гДе Рк =
- ^EiSikPi' т- е. числа pt преобразуются при вращении так же, как д
производные -.
П. 2] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
127"
Из формулы (3) следует равенство
5ил= i = Ът,1кр',т-' = r.ffivD т;'.
т. е.
2 LiPi=Tg(j\ LkpC)T~\ (4)
i = l \к =1 /
Равенство (4), так же как и (3), представляет собой форму записи условия
инвариантности системы (1) при вращениях. С помощью-формулы (4) можно
непосредственно найти характеристический многочлен произвольной
инвариантной системы *). В самом деле, найдем
детерминант от обеих частей равенства (4). Так как det Тд = ^ ,
то мы видим, что
det 2 L%Pi = det 2 LkPk>
т. e. характеристический многочлен не меняется при вращении. Так как
любые два вектора одинаковой длины могут быть переведены друг в друга
некоторым вращением, то такая функция постоянна на поверхности каждой
сферы с центром в начале координат, т. е. зависит только от г = У pj1 _[_
_j_ Но det 2^Р" есть однород-
ная функция порядка N, где N-число уравнений и неизвестных функций в
системе. Следовательно, характеристический многочлен-системы (1) равен
Так как det2^iA является, очевидно, рациональной функцией; от jOj, р2,
р3, то для того, чтобы он был отличен от нуля, N/2 должно быть целым
числом, и поэтому число уравнений и неизвестных функций должно быть
четным.
2. Преобразование условий инвариантности. Условия (3) представляют
собой, по существу, бесконечное число равенств, поскольку входящее в них
вращение g произвольно. Мы заменим сейчас эт равенства конечным числом
алгебраических соотношений. Чтобы получить эти соотношения, заменим
вращение q малыми поворотами, вокруг каждой из координатных осей.
Положим сначала вращение g равным • ••> где -
бесконечно малый поворот вокруг оси Ох (см. § 2). Матрица такого
*) Характеристическим многочленом системы (1) называется многочлен
относительно равный det
128 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
вращения с точностью до малых высшего порядка относительно \ имеет вид
1 1 0 0
0 1 -6
1 0 г 1
Соответствующее преобразование Тд есть Е-где - преобразование, отвечающее
бесконечно малому повороту ах. (Эти преобразования были определены нами в
§ 2.) Обратное преобразование Тд1 есть с точностью до малых высшего
порядка Е- ?AV Подставляя е -)- -f- . . ., гЕ -)- Afi Е - А? + ¦ • • в
си-
стему (3), получим с точностью до членов второго порядка три равенства
(E-\-A]$Ll(E - A1$) = Ll,
(Е -)- А?) (L2 \LS) (Е /Ijf) = L2,
(Е + Afi) (?L2 -)- L3) (E - A?) = L3.
Раскрывая скобки, видим, что члены, не содержащие ?, как и следовало
ожидать, сокращаются, а приравнивая нулю слагаемые, содержащие первую
степень ?, получаем равенства
AXLX - 1ХАХ = О,
А^2 1*2^1 La
AiL3 - L3Ах -f- L2 - О, которые короче записываются так:
[Аи L)\ - О,
[Аи L2] - L3,
[^i> L3\ = L2.
Таким образом, полагая g = е -|- ¦ • ¦, находим коммутаторы
всех трех матриц Lv L2, L3 с известной матрицей Av
Аналогично, полагая g = е-\-а?-\-. . . и g- е -)- а3% +•••,
