Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальным уравнением для Mmn(8) (см. § 7)
a,"- + [H<+l)-Ti|Tj"."(") = o
d^ilon I i a dU-Qn d№ i-
я рекуррентными формулами (см. добавление к § 7) d"1n и - cos "
Нп
db
sin 8 Uln '
и -j- cos i
</8
Sin i
a
iV1 (I + 1)иол. -г/Щ + ТУ^оп-
Если с помощью этих соотношений исключить из уравнения (19)
d2M,
on
du0
d82 ' d8 ' rf8 '
du\n . du-Щ uln>
d8
и.
- in ( --
я сократить получившееся уравнение на е V2 ' иоп($), то мы получим
уравнение, содержащее только функции от г:
dr2
г dr
-[а2-
2 + П/ + 1) г2
(20)
П. 4] § 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 123
Мы видим, что действительно наша подстановка привела к разделению
переменных в уравнении (19). Аналогичная подстановка и преобразование
двух следующих уравнений системы (18) дают такие обыкновенные уравнения:
# + + о,
(21)
Уравнение div Л = 0 после соответствующих преобразований приводится к
виду
d§r+~fi (О + -r{Ly^] Ifi (О +ft(r)\ = о. (22)
Остается решить систему (20), (21), (22). С этой целью исключим fi (г) -
\-f? (г) из уравнений (20) и (22). Мы получим тогда следующее уравнение
второго порядка для (г):
^+y^+[fe2 + 2~/(//-2+1)]^(r)^°- (23)
Заменой искомой функции оно приводится к уравнению Бесселя порядка / -|-
i-. Таким образом, ограниченное в нуле решение уравнения (23) имеет вид
У kr)
fi (г) = Ct -~~j-----• (24)
г2
Из уравнения (22) при этом получаем:
_ J j (kr) kJ' j (kr)
*+ , ч .г-, s ci Y2
f, (г) тП1г)=-уЩЩ
l + T , г+2
(25)
Вычитая друг из друга уравнения (21) и обозначая /г+ (г) /г (г) через ср
(г), получаем уравнение для ср (г)
?+!?+[*¦
откуда
J l(r)
<?(r)=ft(r)- /Г(г) = С2-^4------------- (26)
,2
124 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ Решая уравнения
(25) и (26), получаем:
. С
[Ч. I
С,
J . (*>¦)
г+2
/г W 41-
Кг Vi (1+1)
С,
-АС,
Г . (*г)
г+т
Кг a+i)
Кг Кг(г-и)
J (Иг)
2
г
Г (кг)
t+ -
2
t (*/*) \
+ са i }
Кг (г+i)
j L(kr) 1
-с,-!,-}.
Заменяя по рекуррентным формулам ./' i (&/') через
1 +
1
г+-
J з (kr), мы можем записать эти решения в виде комбинации
1+-
бесселевых функций
f
fT(r)
J 2(*г) kCi V 2 l+ 3 CtY 2 (/+1)
Yhi+V i ri y/(/+l) 3 r2
J з (kr)
kC^Y 2 l+2 C\ Y 2 (/+1)
J i (kr)-\-C2 ¦
?
l+-
(Ar)}
? + ¦
J ! (ftr) )
fi(r) = Cv
I +"
(kr)
J j (Ar)-C2-
*+?
Таким образом, при каждом I и п получаем решение, зависящее от двух
произвольных постоянных и С2-
Подставляя эти функции в формулы (18), мы получим частные решения
уравнений Максвелла. Произвольное решение можно представить в виде ряда
из таких частных решений.
Полагая сначала 1, С2 = 0, а затем (^ = 0, С2=1, мы
найдем два решения, имеющих различный физический смысл. Они различаются
между собой поведением при отражении относительно начала координат*).
Первое из них (при С2 = 0) умножается при
*) Чтобы проверить, что происходит при отражении с А+, А_ и А0, заметим,
что при отражении точка с координатами г, у, 11 переходит в точку с
координатами г, у -j- 71-компоненты Ar, А^, А& переходят в Аг, Л^, -Л",
-in - tp+яЛ - in
е '2 ' = (-1)"<? .
а итп(п - #) = (- J)
,т+п+1 и1
.(")•
§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 125
отражении на (- 1)г и носит название векторного потенциала электрического
мультиполя порядка I. Второе решение (при = 0) умножается при отражении
на (- 1)г+1 и называется векторным потенциалом магнитного мультиполя
порядка I.
Воспользовавшись рекуррентными формулами, выражающими Т\п и Т1-\,п через
Т1йп1, Тг0п и 'ГoJ1 (см. формулу (8) добавления к § 7), можно выразить
найденное решение через обычные сферические функции порядков /-1, I и 7 -
1- 1.
§ 9. Уравнения, инвариантные относительно вращений
В этом параграфе мы будем рассматривать системы уравнений с частными
производными, инвариантные относительно вращений пространства. Пусть фц-
С,, Х2, Х3), ф2 (jCj, Х2, JCS) х2> хз) -
неизвестные функции. Мы будем обозначать совокупность этих функций через
ф (jCj, jc2, аг3). Самую систему запишем в виде
L^+L'-ik+L>^+^=0' '
где Lv L2, L3 - матрицы п-го порядка и у.- число*).
Для того чтобы имело смысл говорить об инвариантности уравнения (1)
относительно вращений, мы должны указать закон, по которому преобразуются
при вращениях ф^ ф2, ..., Ф^. Так как произведению вращений должно при
этом отвечать последовательное осуществление соответствующих
преобразований над функциями ф! ф^, то, следовательно, величина ф должна
преобразовываться по какому-то определенному представлению группы
вращений (вообще говоря, приводимому). Таким образом, при вращении g
величина ф переходит в ф' = Тд'Ь.
Система уравнений (1) называется инвариантной относительно вращений, если
при преобразовании х'= gx независимых переменных (g-произвольное
вращение) и при соответствующем преобразовании ф' = Тд ф искомых функций
система не меняется. В этом параграфе мы найдем общий вид уравнений
первого порядка, инвариантных относительно вращений, а также с помощью
*) Общий вид системы уравнений первого порядка таков:
Л14k+А 4k+As 4k+щ=а
