Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 37

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 132 >> Следующая

сумму ср' -|- ср" через ср, мы получаем:
s = Z
P^n (COS 0) = V g-isa/p1^ (cos O') P[n (COS 0"). (28)
8* -I
Нам осталось выразить 0 и cp2 через ср, 0' и в". С этой целью
рассмотрим матрицы Тд/, Тдп и Тд при 1 = ^-. Из равенства ТдгТд1,- Тд, Т.
в.
* '11 Г/ Ч Л и
1 0' ir ? -i 0-cos ~2 е - 1 sin -у; е 0" 0" iт cos -g- е - z sin ту е
' ' // "
"2 v2 .Н .н
0 iT 0' 0" -tT 0" "'-J
- Z sin туе cos ~2 е - i sin ~2 e cos~2 с
.¦У1+У2 0 *-
еа-<р,
- I sin "2 е
- i sin ~2 е
cos у*
. (c).-fCCo 1 2~~
мы получаем два комплексных уравнения для определения 0', 8я и ср = ср' +
ср";
0 i
у, + <р3
0" i ~
. 0"
cos тг е й - cos -тг cos тг е *-sm -тг sm е
2
.0 *¦ sm е
? . ?' ( t , . ? 8" -i~
= cos *2 sm-g-е -j- sm cos-g- e г
Приравнивая модули и аргументы левых и правых частей, получим отсюда:
cos 6 - cos 6' cos 0" - sin 0' sin 0" cos cp,
sin 9 sin 0"
^ ^1 cos 0' sin 6" cos 9 -j- cos 0" sin 8' '
sin 9 sin 0'
g ?2 -" sjn 0/ CQS 0// CQS ^ cos 0/ sjn g// •
(29)
Полученные формулы (29) можно вывести чисто геометрически. Выведем,
например, первую из них. Применим вращение g". Ось Oz перейдет в прямую
ОК (рис. 5). Перейдем к вращению g'. При повороте вокруг оси Ох на угол
в' луч О К перейдет в луч ОК',
100 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
а ось Oz в прямую OD. Затем после поворота вокруг прямой OD на угол ср2
прямая ОК' займет положение OL. Нам нужно определить
угол 0 между осью Oz и пря-
мой OL. Очевидно, что ось Oz можно перевести в положение
DN = tg в"
¦ ср):
прямой OL следующим образом (рис. 6): в плоскости хОу совершить поворот
на угол 6' и затем в плоскости DOL, повернутой к плоскости хОу на угол ср
= ср^ -)- луч OD повернуть на угол 0"; при этом он займет положение OL.
Из рис. 6 видно, что задача определения угла 0 свелась к вычислению
стороны сферического треугольника 0 по двум другим сторонам 0' и в" и
углу (л-ср) между ними. Для этого проводим прямые MD и DN - касательные к
дугам ZD к DL Из рис. 6 видим;
ОМ = sec 0', MD = tg 0', ON - sec 0",
Из треугольника MDN имеем:
MN2 = MD2 -4- DN2 - 2MD DN cos (тс -= tg'2 + tg2 + 2tg 0' tg 0" cos cp.
Из треугольника MNO получаем:
MN2 = MO2 -f- ON2 - 2MO NO cos 0 =
= sec2 0" -(- sec2 O' - 2sin 0' sec 0" cos 0.
Приравняв правые части обеих формул, мы после небольших преобразований
придем к первой из формул (29). Аналогичным образом можно получить и
остальные две формулы.
Таким образом, окончательно получаем следующий результат. Если ср, 0', 0"
- произвольные углы (0<]ср<2я, 0 б', б^^я),
а 6, <рх и ср2 определены по срх, б', 0" формулами (29), то для
обобщенных сферических функций имеет место следующая формула сложения:
Plmn (cos 6) e~inТ* = ^ е -**? Р1тз (cos б') Р16П (cos 0"). (28')
s=-г
П. 6] § 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 101
В частности, при т = п = 0 формула (28') превращается в обычную формулу
сложения для многочленов Лежандра, выражающую значение многочлена
Лежандра от cos 0 - cos в' cos в" - sin 0' sin 0" cos cp через
присоединенные функции от в' и Q".
Полагая т = 6, мы получаем теорему сложения для обычных
сферических функций Pl0n(cosQ) е-{пъ = Yi
г
Po"(cos6)= ^ е-^Роа (cos (r)')Р\п (cos 6").
s=~l
Особенно простой вид имеет формула сложения при ср = 0 и, следовательно,
ср1 = ср2 = 0. В этом случае 0 = 0'_|_0,/, и мы имеем:
г
Plmn\ cos (0Г Ч- 6")] = 2 plms (C0S 6/) P%sn (C0S Г)- (30)
s=-l
Вспоминая связь между Ртп(\?) и многочленами Якоби (см. п. 4), мы можем
интерпретировать это соотношение как формулу сложения для многочленов
Якоби. Так как
г
Рг0п [cos (0' + 6")1 = Я" (cos е0 pln (cos 6'0,
S - -I
a Pin [cos (0' + 0я)] - присоединенные функции Лежандра, то видим, что
обобщенные сферические функции возникают естественным образом при
разложении Р10п [cos (0' -)- О")] в ряд по присоединенным функциям от 0'.
Сами же обобщенные сферические функции, как следует из формул (28') и
(30), образуют систему, замкнутую относительно теоремы сложения.
Приведенная формула сложения дает возможность также выразить многочлен
Лежандра от косинуса суммы нескольких углов через функции, каждая из
которых зависит лишь от одного из углов. Так, например,
P,[cos(0' + 0" + 0"O] = г г
= S %PUcos^Pl^cosb')PUcosn.
bj= - I 8j- X
6. Разложение функций на группе вращений по обобщенным сферическим
функциям. Для определения матричных элементов Tmn(g) мы построили в
начале этого параграфа неприводимые представления преобразованиями Ugi,
действующие в конечномерных пространствах Rm функций, заданных на группе
вращений. Рассмотрим теперь множество всех функций от g:
f(g)=f(9v 0. ?г)>
102 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
для которых сходится интеграл
2х X 2х
/ \f(g)\zdg= f f!/("?!, 9, cp3) p sin 6 rfcp, rfcp2. (31)
ООО
Если определить скалярное произведение fx(g) на f2(g) формулой
2х х 2х
(fu Л) = If fi (<Pi> 9> Та)/2 (?!> 9. Та) sin 0 ^ </0 <fcp2, (32)
ООО
то эти функции образуют гильбертово пространство функций на группе.
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed