Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 45

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 132 >> Следующая

П. 4] § 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 119
группе аналогичную операцию со вторым индексом. Мы получим тогда девять
комплексных компонент тензора второго ранга, а именно:
#11 /#21 I (#12-----/#22) =zz #11 #22 / (#21 "I- ali)>
#13 Ш23,
#11 i'#2i -/ (#12------ICL22) == #11 -!~ ^22-/ (a21-#12)'
#31 i#32,
#33 >
Й31 "Ь /#32"
#11 /#21----/ (#21 /#22) = #11 Ч- #22 + i (#21--#1г)>
#13 Ч- /#23"
#11 -j- /#21 -j- i (#12 /#22) = #11 #22 Ч- г (#21 4" #12)'
Для того чтобы разлагать по обобщенным сферическим функциям, мы должны
подвергнуть тензор в каждой точке Р со сферическими
координатами ср, & вращению g-g - cplt &, 0^, переводящему
эту точку в северный полюс сферы *). В результате этого вращения базисные
векторы ех, еу и ег перейдут в -е , еь и ег и мы получим следующие девять
комплексных компонент тензора, зависящих от ср и
агг, #?? + #99 zt г (#?а - #90)-компоненты, разлагающиеся по нулевым
строчкам матриц Тгд (по обычным сферическим функциям
- #?г- /#аг, -аг9 - г#га- компоненты, разлагающиеся по функциям Т\п ^ -
ср, &, 0^;
- -j- ia<}r и -#гт-|~/#га- компоненты, разлагающиеся по функциям
Tlln^ - <f, &, о);
#?tp - #аа -)- i (#а<р -|~ #?а) - компоненты, разлагающиеся по функции
т\п(^~-¦ ср, &, oj; #w-#аа - i(аа<р-j-а?а) - компоненты, разлагающиеся по
функциям т12,п^ ср, &, 0j.
4. Решение уравнений Максвелла. Как пример применения полученных
разложений рассмотрим решение уравнений Максвелла.
Мы будем рассматривать случай, когда эти уравнения записываются в виде
А - ДЛ = 0, сПуЛ = 0,
*) Обратное вращение g-1 должно переводить северный полюс в Р (см. п. 1
этого параграфа).
120 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
где А- вектор, зависящий от х, у, z, t (так называемый векторный
потенциал), и ДЛ-вектор с компонентами ДАх, ДАу, ДАг, причем
д=
дх^ ' dyi ' '
Полагая Л = А(х,у, г)еш, получаем систему уравнений
ДЛ + ЙМ = 0, div /1 = 0.
Так как эти уравнения инвариантны относительно вращений, то решение
удобно искать в виде ряда, также инвариантного относительно вращений, т.
е. ряда по обобщенным сферическим функциям. С этой целью перейдем к
сферическим координатам и вместо компонент Ах, Ау, Аг будем определять
вектор А в каждой точке компонентами Аг, /1?, Лд., определенными
формулами (6) этого параграфа *). Проделав соответствующее преобразование
независимых переменных и искомых функций, получим следующие четыре
уравнения:
| 2 дАг
d2A _ dr2 дг
2
1 dAAr
1 d2/lr . ctg 8 дАг
d82
г2 sin2 8 dtp2
d8
дА к
2/1,
2 ctg 8
<РАЧ
dr2
д*А"
dr2
г2 d& 9 дА,
г1 sin 8 д<?
1 д"-Аа
I т_ _
г дг ' У d82 . 2 cos 8 d/la
1
д~А"
г- sin2 8 dtp2 2 d/L
2 дАь г dr
дАг
гг sin2 8 dp ^ r°- d&2
2 cos & dA
r2 sin 8 dtp
1 dMa ctg 8 dA$
A8 -J- kzAr - 0, +
0,
ctg 8 дАщ
d8
/•-
A
? L_ hi A
r2sin*8 ' f
r2 sin28 dtp2 о , 2 d/L
d&
r2 sin2 8 dtp 1 d/I" .
dd
r2 sin2 8
-AM#
= 0,
1
dr
r d8
dA 2
?_|___________ A
r sin 8 dtp ' r r
Ац - 0.
(17)
Введем теперь комбинации компонент, раскладывающиеся по обобщенным
сферическим функциям, а именно, положим:
1
А
V2
'(Ap-j-i-t'l"),
А0 - Аг,
V2
(/4<р - г"'4а).
*) Очевидно, в формулах (6) все а надо заменить на А.
П. 4] § 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 121
Уравнения (17) в этих компонентах приобретают вид
I I д-Ap I J_ , о дА0 .__________1 д-А0___2^ . . . 2 . _
дг2 ' г dr "I- г2 да2 'г2 & дй г2 sin2 а df2 г2 ло'+'/г л°
_tY 2 ГА4+,_____________<L4 + 1
г2 L й" + Sin 0 d? + & +J
_±^А Г^- / д.д_1 - о,
г2 L sin а о? ^ s J
дм, . 2 ал, , 1 ам, . 1 " ал, , 1 а?л_ . 2/cqs&m__
дг2 r dr _,_"/'2 da2 ~Д~/-2 С ^ #0 +r2sin2a df- ^г2sin2a df
- 2 1 2" Л_ + k2A_ _ ;
г2 sin2 а 1 г2 \ ^а 1 о? /
о,
дМ+ , 2 дЛ + 1 д2А + , 1 ддЛ+ . 1 д2А+
2tcosbdA +
дг2 ' г дг ' г2 да2 ' г2 с ^ да 1
г2 sin2 a df2 r2sin2a df
г2 sin2
ША+ + "А+-1&(*?-1^) = 0,
F + 7^ + -^f(^r+i -^r+ctg!M+) +
+ ~Ут ~ ^ +ctgЬА~) " °'
(170
Будем искать решение системы (170 в виДе рядов по обобщенным сферическим
функциям
СО I
Ар(г, ?,8)= ^ "г."гЦ|-9,8, о),
2 = 0 п --I
I
А+
(г, ср, 8)*= Yift(r) 2 p;,"Tfn (у - <р, 8, О),
2 = 0 п=-2
со 2
А.(г,9,8) = 2/Г (О 2 Ti.-T'-m (!-?¦ 8,0).
2=0 п--1
При этом выявятся преимущества инвариантного способа решения задачи,
состоящие в том, что переменные разделятся, и нам придется решать только
систему обыкновенных уравнений для определения функций от г.
122 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
В силу линейности уравнений можно подставлять в систему
лю одному из слагаемых каждого ряда, т. е. подставлять функции
А> (г, ср, Ъ) =A(r) Tl0n (-J - ср, Ь, О),
А+(г, <Р, &)=/Г(г)7^(^--ср, &, О), (18)
А-(г,ч,Ъ)=К О).
Первое из уравнений (18) приобретет после такой подстановки вид
I
2 df \
dr2
r dr
¦&fi{r)\ Тг0п (f-Ф, ", 0) +
_l L 0n I a. ^T'pn i 1 d-7'0n__т 1______
riJ K 1 </82 -1- sin2ft d<f2 ri 'onj
t V"2 j:+ , Г d7\n . i dTjjj | 1
'/г (r)[^8-hslH?^-hctg"rlnj -
lY 2 /-
r2
/Г(г)[
In
-ctg 9T_lnj = 0.
(19)
sin 8 d<p
Вспомним теперь, что Tmn -cp, 8, 0^ = e <n^2 итп(Ъ), и воспользуемся
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed