Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
.77b •тЛ -)-1 7 i W m? 7 I Tit тЛ -'1 J 1/ n i \
- l?i + *-гЛ
c3lTjm C\\ -|- C%2TjmCi2 -)- C^Tjm 6'i3 = (COS 6---1) в Tj +ц
TO_ij
CnTj+Vli + c(tm) + cSrj-1^ = sin 6 e"^ Tj, ,
^ТЙЧ1+сГ2Т]тС|2 + ^4;Чз==4(1+соз6)е^"1"%:ГЯЬ"-1-
(8)
*) Напомним, что в силу ортогональности матрицы \\cfk\\ обратная к ней
совпадает с транспонированной.
108 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ группы вращений [ч. I
В этих формулах с(tm)-известные числа, а именно элементы матрицы С(тоС
заданной формулой (9) § 4 на стр. 64.
Не подставляя значений этих чисел во все формулы (8), ограничимся тем,
что сделаем это для средней из них, дающей связь между функциями Т?п,
Tlmn и Т1^, стоящими в соответствующих матрицах на одних и тех же местах.
Мы получим формулу
У Р + m Т~ П С - m 1) (I ^ j -\- \ ) (I -У 4~ 1) -И+1 | mJ -pi I
(2J+1)(/+1) •"'* W(/+1)
I Y(Im) (t - j) т1-1 fl t? rov
П ЩГ) ~T) ~
или после умножения на е~г,п'-'~г^ формулу Y(/ + JB + l)(/-m + l)(/ + ; +
l)(/-7-t-l) пг+1 i
(2/ + i)(/+i) П"
I mi pi У V ~Ь m) С m) V + J) (i J) pi~l ('u') - "pi (цЛ
(9')
При j-m~Q эта формула превращается в рекуррентную формулу между
многочленами Лежандра.
§ 8. Разложение векторных и тензорных полей
В § 3 мы разлагали функции, определенные на сфере, т. е. функции,
зависящие от полярных углов 0 и ср, по сферическим функциям (см.
обозначения, введенные в конце п. 2, § 7). Такие разложения используются
обычно при решении в сферических координатах различных задач, в
постановке которых имеется сферическая симметрия относительно некоторой
точки (задачи, инвариантные относительно вращений).
В настоящем параграфе мы решим задачу об аналогичном разложении для
функций, значениями которых является не скаляр, а вектор, тензор или
какая-нибудь другая величина. Таким образом, содержание этого параграфа
является развитием результатов § 3, где такое разложение проведено для
скалярных функций. Разложение функций, так же как и в § 3, получается в
результате разложения представления, порожденного преобразованиями этих
функций на неприводимые.
Специальные функции, по которым производится разложение, как мы увидим,
окажутся обобщенными сферическими функциями, вычисленными в § 7, частным
случаем которых являются обычные сферические функции.
П. 1] § 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 109
Для большей ясности мы сначала, в п. 1, изложим решение задачи для
функций, принимающих векторные значения, и затем уже для ¦функций,
значение которых есть произвольная величина.
Подобные разложения для различных величин встречаются во многих
физических вопросах.
Подобно тому как решение уравнения Лапласа в сферических координатах
естественно приводит к разложению функции в ряд по сферическим функциям,
при решении уравнений Максвелла в сферических координатах приходится
разлагать в ряд функции, значениями которых являются векторы.
Аналогично при решении уравнений Дирака в центрально-симметрическом поле
приходится инвариантным образом разлагать в ряд функцию на сфере,
значениями которой является спинор. Функции, по которым производится в
этом случае разложение, введены В. А. Фоком и называются шаровыми
функциями со спином.
Для решения уравнений теории упругости Г. И. Петрашень ввел так
называемые шаровые векторы и успешно применил их к решению задач.
Наконец, в работе В. Б. Берестецкого, А. 3. Долгинова и К. А. Тер-
Мартиросяна были введены разложения функций, значениями которых являются
произвольные /-векторы (величины, преобразующиеся по неприводимому
представлению веса I). Разложение проводилось по так называемым шаровым
(I, А)-векторным функциям, компоненты которых задаются как линейные
комбинации обычных сферических функций. Коэффициенты этих линейных
комбинаций совпадают с коэффициентами с**, определенными в п. 4 § 4. В
общем случае они довольно трудно обозримы.
Мы, как было указано выше, производим разложение компонент величины по
обобщенным сферическим функциям. Связь этих функций с обычными
сферическими функциями может быть определена с помощью рекуррентных
формул § 7.
1. Разложение векторных функций. Рассмотрим функцию а(х), где х -
точка трехмерного пространства, а а - вектор, т. е. рассмотрим векторное
поле.
Выясним, как преобразуются такие функции при вращении. Подвергнем
векторное поле а(х) произвольному вращению g0. В результате этого
вращения мы получим новое векторное поле а' (х). Найдем выражение а'(х)
через а(х). После вращения g0, во-первых, в точку л: придет вектор,
начало которого до этого было в точке g^1x. При этом вектор a^g-^x) не
перенесется в точку х без изменения, а вместе со всем векторным полем
подвергнется вращению g0.
Следовательно, в результате вращения g"0 векторное поле а(х) перейдет в
векторное поле а' (х) = g0a[g-1 х). Таким образом,
110 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
каждому вращению g0 отвечает преобразование Тво векторных функций а(х),
определяемое формулой
Tgoa(x) = g0a(g-lx). (1)
Ясно, что преобразование ТВа линейно.
