Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
найдем коммутаторы матриц Lu L2, L3 с А2 и А3.
Результат можно записать в виде следующей таблицы уравнений:
[Alt Z,!] = 0, [Ai> L2] = Z.J, [A^ L3] = - L2,
[A3y L\] = ¦ L3, IA2j L2] О, [A21 Z.3] = L1, (5)
[A3, Lj] = L2> [A3, L2] = Z,j, [A3,. L3] = 0.
Из этих уравнений найдем возможный вид матриц Lu L2 и L3.
Мы не будем здесь доказывать, что из равенств (5) следуют равенства (3)
или (4). Это доказательство, которое должно установить, что из
справедливости некоторого факта для бесконечно малых
П. 3] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
129
поворотов следует его справедливость для любых конечных враще^ ний,
полностью аналогично проведенному в § 2 доказательству того, что матрицы,
отвечающие бесконечно малым поворотам, определяют собой преобразование Тд
для любого вращения g.
Для того чтобы найти Lv L2 и L3, исключим сначала из системы (5) матрицы
Ll и L2¦ Для этого воспользуемся введенными в § 2 преобразованиями
/Д. - /1 j -j- 1Н2 - -- i А | - А 2,
Н - - Hi iLi2 r== iAi -j- Л2
и вычислим коммутатор [ [L3, Н_], Н+]. Сначала найдем коммутатор L3 и Н_.
Пользуясь равенствами (5), имеем:
[L3, Н_] = i [L3, Л;]-j- [L3, А2] = iL2- Lv
Прокоммутируем получившийся оператор с Н+\ тогда
[iL2 - L{, H+] - [iL2 - Li, iA1 - Л2] - - 1^2, Л1]-)-[/,1, Л2] = 2Z,3.
Мы получаем, таким образом, два уравнения:
[13, Н?] = О,
[ Из- Н_], Н+\ = 2Z-3,
котооым должна удовлетворять матрица L3.
Можно показать, что если мы имеем матрицу L3, удовлетворяющую этим
уравнениям, и если определить затем Lt и L2 по формулам ^^[Л,, L3], L2 -
- [Л,, L3], то полученные матрицы Lu L2, L3 удовлетворяют всей системе
(5).
3. Определение матриц L,, L2, L3. В этом пункте мы найдем явный вид
матриц L3, являющихся решением системы (6), а затем найдем Li и Lv
Величина ф преобразуется по некоторому представлению, которое мы будем
считать разложенным на неприводимые. Компоненты величины ф мы будем
нумеровать неоднократно встречавшимися индексами I и гп, где I - вес
неприводимого представления, a m - номер компоненты в представлении веса
I. Если представления с одним и тем же весом I при разложении
представления ф на неприводимые встречаются больше чем один раз, то для
того, чтобы различать между собой эти представления, мы будем добавлять
еще индекс т, указывающий номер представления веса I. Таким образом, в
этих компонентах величина ф будет писаться так:
ф(*1, х2, д:3) = {фг;и(Xi, х2, х3)}.
Обозначая через величину, у которой ф^ = 1, а остальные
130 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
компоненты - нули, мы можем написать:
ф (Xj, Х2, Х3) = 2 (-^1> %2, АГд) *).
I, т, i
Так как величина определяется тремя индексами I, /га, т, то
преобразование этой величины, в частности матрица L3, задается шестью
индексами. Преобразование L3 векторов имеет, следовательно, вид
L3hm - 2 с1'1, т'т Ч'т' '
Для того чтобы найти числа с]',] т,т , воспользуемся системой (6).
Вспоминая (см. § 2), что
Н&т ==
Н== 1 %1,т+1>
НЛт ?/, т - Ь
где (alm)2 - (Iт) (I-т-\- 1), имеем:
==:: mL3%im = //I 2] Q'Z, m'm 'il'm''
I', т', т'
Нз^3^1т == ^з2 в1'1,т'т Ч'т' == 2 ^ в1'1, т'т 'ч'т'•
I'm'-с'
Так как в силу первого из уравнений (6) (L3H3 - H3L3)%m = 0, то отсюда
.2 ) BVl, т' т ?lFm' 0 •
I', т.', 1'
Приравнивая коэффициенты при ipm' нулю, получаем, что коэффициенты cj'j т
могут быть отличны от нуля только при /га' - /га. Мы для краткости
обозначим с]',] тт просто через cJ',J .
Воспользуемся теперь вторым уравнением системы (6). Мы имеем:
ilm == Lz&m El, в-1=а"2 Bl'l, m-lkr, т - Ь Vi'
H_L$m = Н_ 2 cl'l, т& ,т = 2 ат c]'i, т m_i,
z'v /у'
[L3, 2 [a/n Czy, jji - 1 Я m Ci4t
Z'V
*) Величины образуют, таким образом, базис в пространстве, в котором
действует представление g->Tg, а ф|т- компоненты величины в этом базисе.
П. 3] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 131
Далее,
[Z,?i Н_\Н+$]т = [L3, Н_]ат+1 m+i =
I т I х'х V Vn , ".V
- am+l ^ lam+l cVl, m &m + l C%4t m+1]
V%*
H + 1Ц, H _ ] %im - H+ 2 [am Cl'l, m-1 &m ^Vlf m] "г-l -
Г'"'
S Z' r I x'x Г *'т , и'
а"г 1а"г ^Z'Z, "i-1 &m Cl'l, m\ *Vm>
Vx'
l [is. H_\, H+]Jm =
= 2 {( (<Wi)2 + ("да)2] с/^.то - с]'], m_i -
l'x'
am+l am+1 CZ'Z, от+l} ^Z', m'
Второе из равенств (6) дает, таким образом, систему уравнений для"
определения cj',j m:
2crl m = I (alm+1f + (aL) ] < '7, (tm) -
' I xfx V I 1't
(r)"l (r)"1 Cl'l, m - 1 ^"1 + 1 cj'j, w + l*
или, подставляя вместо их значения, систему
2cj'Z, m - Кl-\- tn "(~ 1) (I - m)-\~ (У "(~ m) (!¦' m + 1) cj'i, m
- Y (У H~ m) Y - m~h 0 4" m) (I - m~\- 1)] Cl'l, m-1 -
- VV + ^ + l){lr - rn)(l-\-m-\-\)(l - m+v (7)
Эта система может решаться при фиксированных индексах V, I, х',
х, которым затем нужно придавать всевозможные значения. Зафиксируем
некоторые V, I, х', х и обозначим пока c'r'm просто ст. Мы получаем
систему однородных уравнений для ст, где -min (/',/)^ ^ т min (Г, Г) *) и
число уравнений равно числу неизвестных. Эти уравнения удобнее всего
решать последовательным определением неизвестных. Придав т наибольшее
