Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
= (ттт)‘ + exp '-(A + M -!)1 Trw ¦ <3-8'96)
Следовательно,
(X(t),X(sy>s = (X(t)X(s)}.,- <*>’ = exp [-(A + a)I (3-8-97)
Отметим, что полученная временная корреляционная функция имеет в точности такой же вид, что и аналогичная функция для процесса Орнштейна — Уленбека. Корреляционные функции более высоких порядков, конечно, будут другими, но вследствие простоты рассмотренного телеграфного процесса с двумя состояниями и простоты его корреляционной функции он широко применяется при построении различных моделей.
4
Расчеты методом Ито и стохастические дифференциальные уравнения
4.1. ОБОСНОВАНИЯ
В разд. 1.2.2 мы впервые встретились с прообразом того, что теперь называется уравнением Ланжевена, которое можно в общих чертах определить как обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое входит быстро и беспорядочно флуктуирующая функция времени (член X(t) в первоначальном уравнении Ланжевена). Сама простота, с которой Ланжевен пришел к результатам Эйнштейна, может служить достаточным основанием для того, чтобы попытаться дать уравнению Ланжевена более или менее строгое обоснование.
Наиболее часто встречающееся нестрогое уравнение Ланжевена может быть записано в виде
fi y
— = а(х, t) + b(x,t)((t), (4.1.1)
где л" — интересующая нас переменная; а(х, t) и b(x, t) — некоторые известные функции, а ?(/) — быстро флуктуирующий случайный член. С математической точки зрения понятие «быстро и беспорядочно изменяющейся функции» означает, что при t Ф /' значения ?(0 и ?(/' ) статистически независимы. Будем считать, что <?(0> = 0, поскольку любое ненулевое среднее значение может быть учтено при определении функции а(х, I), и потребуем, таким образом, чтобы
<«/)«/')>= «(/-/'). (4-1.2)
Тем самым удовлетворяется требование отсутствия корреляции в различные моменты времени, но, как довольно неприятное следствие, Дисперсия f(/) оказывается бесконечно большой. На практике, конечно, никакая величина не может обладать бесконечно большой дисперсией, однако понятие белого шума как идеализация реального флуктуирующего сигнала имеет определенный смысл, как уже упоминалось в Разд. 1.4.2 в связи с тепловыми шумами в электрических цепях. Мы УЖе сталкивались с двумя объектами, которые могут рассматриваться как генераторы с ненулевым временем корреляции: процессом
Орнштейна — Уленбека и случайным телеграфным сигналом. Для
118 Г лава 4
обоих этих источников корреляционная функция второго порядка может (с точностью до постоянного множителя) быть представлена в виде
(X(t), X(t')} = 1- . (4.1.3)
Основная разница между этими двумя источниками состоит в том, что реализации процесса Орнштейна — Уленбека непрерывны, а телеграфного сигнала нет. Если (4.1.1) рассматривать как реальное дифференциальное уравнение, в котором ?(/) представляет собой не дельта-коррелированный шум, а шум с конечным временем корреляции, то в качестве ?(/) нужно выбрать непрерывную функцию, иначе dx/dt не будет непрерывна. Пределом корреляционной функции (4.1.3) при у — 0 является, очевидно, дельта-функция Дирака, поскольку
J ie-'K-"'*' = 1, (4.1.4)
— со ~
и для t ф t'
lim '-L е-я'-"' = 0 . (4.1.5)
у-* оо L
Это означает, что возможную модель ?(0 можно было бы получить путем некоторого предельного перехода, например 7 — оо в процессе Орнштейна — Уленбека. В обозначениях разд. 3.8.4 это соответствует переходу к пределу
А—оо, (4.1.6)
причем D — к2. Этот предел попросту не существует. Переход к любому подобному пределу возможен только после вычисления измеримых величин; в принципе такая процедура осуществима, но слишком громоздка, чтобы использовать ее для практических расчетов.
Необходим иной подход. Коль скоро мы пишем дифференциальное уравнение (4.1.1), мы предполагаем его интегрируемость, и поэтому должны ожидать, что интеграл
u{t) = \ df Q(t’) (4.1.7)
существует.
Потребуем теперь, чтобы «(/) обладала естественной для интеграла непрерывностью. Это означает, что u(t) является марковским про-
Расчеты методом Ито и СДУ 119
цессом, поскольку мы можем записать следующее:
Г г/
u(t') = J ds ?(j) + J ds ?(j) (4.1.8)
= lim ГI
lim J ds ?(s)
«—0 Lo
+ jds?(s), (4.1.9)
и для всякого e > 0, ?(s) в первом интеграле не зависят от ?(s) во втором интеграле. Отсюда в силу непрерывности u(t) и u(t' ) - u(t) статистически независимы и, более того, u(t') — u(t) не зависит от u(t" ) для всех t" < t. Это означает, что u(t') полностью определяется (в вероятностном смысле) известным значением u(t), но не зависит от каких-либо предыдущих значений. Следовательно, u(t) является марковским процессом.
