Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 51

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 185 >> Следующая


3) эти функции необходимы для определения стохастических дифференциальных уравнений.

4.2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО dW(t)2 = dt И dW{t)2 + N = 0

Приведенные в заголовке раздела формулы являются ключом к использованию исчисления Ито в качестве практического метода. В таком виде, однако, они не вполне точны; в действительности, имеется в виду следующее:

Г

2) \dt'F[W{,'))

3) \ dW{t'}F[W{t')\

4) I dt'G(t’)

¦ , когда G(t) сама есть неупреждающая функция.

t

= J clt'G(t') при N — 0

(4.2.25)

= 0 при N > 0

для произвольной неупреждающей функции G(t).
126 Глава 4

Доказательство не представляет затруднений. Для N = 0 определим

Горизонтальными фигурными скобками охвачены сомножители, которые статистически независимы друг от друга в силу свойств винеровского процесса и в силу того, что G, суть значения неупреждающей функции, не зависящие от всех AlVj для j > i.

Пользуясь этой независимостью, мы можем разложить средние значения на множители, а используя также

При достаточно слабых предположениях относительно G(t) (например, полагая ее ограниченной) это означает, что

1) Доказательство, что ( G(t)[dW{t)]2+N для N > 0 проводится

аналогично с использованием явных выражений для высших моментов гауссовского распределения (разд. 2.8.1).

/ = lim <Е Gf_,(A»7- ДО]2)

(4.2.26)

(4.2.27)

1) <Д»7> = Д/,

2) <(Д W} — Д/,)2)= 2Дtf (в силу гауссовской природы),

находим

I = 2 lim Е Д*?<(С,_,)2>] .

(4.2.28)

ms-lim (2 G,_,AW} - ? G,_xД/() = О,

(4.2.29)'

а поскольку

t

ms-lim 2 G^At, — J dt'G(t') ,

(4.2.30)

получаем

t t

J [dW(t')]2G(t') = Jdt'G(t').

ЗАМЕЧАНИЯ

0
Расчеты методом Ито и СДУ 127

2) d\V{t) встречается только в интегралах, так что, если ограничиваться лишь рассмотрением неупреждающих функций, можно просто записать

dW{tf = dt (4.2.31)

dW(t)2+N = О (N > 0). (4.2.32)

3) Эти результаты справедливы только для интеграла Ито, поскольку мы воспользовались независимостью ДИ^ от Gj_v Для интеграла Стратоновича

Ш, = Щь) - (4.2.33)

G,-i = G[№, + ?,,.,)], (4.2.34)

и хотя G(t) — неупреждающая функция, это еще не гарантирует, что AW; и Gi_l, определенные таким образом, независимы.

4) Аналогичным способом можно доказать, что

J G{t’)dt’dW(t') = ms-lim 2 G^AWtAt, = 0, (4.2.35)

Г0 П-оо

равно как и для более высоких порядков. Попросту охарактеризовать эти результаты можно, сказав, что dW(t) имеет порядок малости (At)xn и что при вычислении дифференциалов бесконечно малые порядка выше At отбрасываются.

4.2.6. СВОЙСТВА СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА ИТО

а) Существование

t

Можно показать, что стохастический интеграл Ито [ G{t' )dW(t' )



существует всегда, когда функция G(t' ) является непрерывной и неупреждающей на замкнутом интервале [/0, t] [4.3].

б) Интегрирование многочленов

Мы можем формально воспользоваться результатом разд. 4.2.5: d[W{t)f = [W{t) + dW{t)]- - W(tf = ? W{ty-rdW{t)\
128 Глава 4

и, учитывая то, что dW(t)r — 0 для всех г > 2

= nW(ty~4W(t) + W(ty~4t,

(4.2.36)

получим

/ ^(/')W(/') = -4-т [W{ty+l - ЩЛ)"+1] - ~ / Ж(/)П”1Л. (4.2.37)

W Г 1 ^ Гп

в) Два вида интегралов

Заметим, что для каждой G(t) существуют два вида интегралов:

каждый из которых входит в последнюю формулу. Вообще говоря, между этими интегралами не существует связи.

г) Общие правила дифференцирования

Записывая дифференциалы (как в п. «б»), следует сохранять члены до второго порядка по dW(t). Это значит, например, что

d{exp [И^/)]} = - exp [fV(t) + dW(t)\ — exp [W(t)]

t

и J G(t')dW(t'),

txp[W(t)]\dW(t) + \dW(t)z] exp [W(t)}[dW(t) + \dt]

(4.2.38)

или, в более общем виде,

Пользуясь тем, что (dt)1 — О

dtdW(t) — о

\dW(t)f = dt
Расчеты методом Ито и СДУ 129 и все члены высших порядков обращаются в нуль, получаем

даад. о =(§{+¦? л +

(4.2.39)

д) Формула средних значений Для неупреждающей функции G(t)

(4.2.40)

Поскольку G(t) — неупреждающая функция, в определении стохастического интеграла

а из разд. 2.9.5 мы знаем, что порядок операций ms-lim и < > может

быть изменен. Отсюда, переходя в (4.2.41) к пределу, получаем искомый результат.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed