Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
3) эти функции необходимы для определения стохастических дифференциальных уравнений.
4.2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО dW(t)2 = dt И dW{t)2 + N = 0
Приведенные в заголовке раздела формулы являются ключом к использованию исчисления Ито в качестве практического метода. В таком виде, однако, они не вполне точны; в действительности, имеется в виду следующее:
Г
2) \dt'F[W{,'))
3) \ dW{t'}F[W{t')\
4) I dt'G(t’)
¦ , когда G(t) сама есть неупреждающая функция.
t
= J clt'G(t') при N — 0
(4.2.25)
= 0 при N > 0
для произвольной неупреждающей функции G(t).
126 Глава 4
Доказательство не представляет затруднений. Для N = 0 определим
Горизонтальными фигурными скобками охвачены сомножители, которые статистически независимы друг от друга в силу свойств винеровского процесса и в силу того, что G, суть значения неупреждающей функции, не зависящие от всех AlVj для j > i.
Пользуясь этой независимостью, мы можем разложить средние значения на множители, а используя также
При достаточно слабых предположениях относительно G(t) (например, полагая ее ограниченной) это означает, что
1) Доказательство, что ( G(t)[dW{t)]2+N для N > 0 проводится
аналогично с использованием явных выражений для высших моментов гауссовского распределения (разд. 2.8.1).
/ = lim <Е Gf_,(A»7- ДО]2)
(4.2.26)
(4.2.27)
1) <Д»7> = Д/,
2) <(Д W} — Д/,)2)= 2Дtf (в силу гауссовской природы),
находим
I = 2 lim Е Д*?<(С,_,)2>] .
(4.2.28)
ms-lim (2 G,_,AW} - ? G,_xД/() = О,
(4.2.29)'
а поскольку
t
ms-lim 2 G^At, — J dt'G(t') ,
(4.2.30)
получаем
t t
J [dW(t')]2G(t') = Jdt'G(t').
ЗАМЕЧАНИЯ
0
Расчеты методом Ито и СДУ 127
2) d\V{t) встречается только в интегралах, так что, если ограничиваться лишь рассмотрением неупреждающих функций, можно просто записать
dW{tf = dt (4.2.31)
dW(t)2+N = О (N > 0). (4.2.32)
3) Эти результаты справедливы только для интеграла Ито, поскольку мы воспользовались независимостью ДИ^ от Gj_v Для интеграла Стратоновича
Ш, = Щь) - (4.2.33)
G,-i = G[№, + ?,,.,)], (4.2.34)
и хотя G(t) — неупреждающая функция, это еще не гарантирует, что AW; и Gi_l, определенные таким образом, независимы.
4) Аналогичным способом можно доказать, что
J G{t’)dt’dW(t') = ms-lim 2 G^AWtAt, = 0, (4.2.35)
Г0 П-оо
равно как и для более высоких порядков. Попросту охарактеризовать эти результаты можно, сказав, что dW(t) имеет порядок малости (At)xn и что при вычислении дифференциалов бесконечно малые порядка выше At отбрасываются.
4.2.6. СВОЙСТВА СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА ИТО
а) Существование
t
Можно показать, что стохастический интеграл Ито [ G{t' )dW(t' )
'о
существует всегда, когда функция G(t' ) является непрерывной и неупреждающей на замкнутом интервале [/0, t] [4.3].
б) Интегрирование многочленов
Мы можем формально воспользоваться результатом разд. 4.2.5: d[W{t)f = [W{t) + dW{t)]- - W(tf = ? W{ty-rdW{t)\
128 Глава 4
и, учитывая то, что dW(t)r — 0 для всех г > 2
= nW(ty~4W(t) + W(ty~4t,
(4.2.36)
получим
/ ^(/')W(/') = -4-т [W{ty+l - ЩЛ)"+1] - ~ / Ж(/)П”1Л. (4.2.37)
W Г 1 ^ Гп
в) Два вида интегралов
Заметим, что для каждой G(t) существуют два вида интегралов:
каждый из которых входит в последнюю формулу. Вообще говоря, между этими интегралами не существует связи.
г) Общие правила дифференцирования
Записывая дифференциалы (как в п. «б»), следует сохранять члены до второго порядка по dW(t). Это значит, например, что
d{exp [И^/)]} = - exp [fV(t) + dW(t)\ — exp [W(t)]
t
и J G(t')dW(t'),
txp[W(t)]\dW(t) + \dW(t)z] exp [W(t)}[dW(t) + \dt]
(4.2.38)
или, в более общем виде,
Пользуясь тем, что (dt)1 — О
dtdW(t) — о
\dW(t)f = dt
Расчеты методом Ито и СДУ 129 и все члены высших порядков обращаются в нуль, получаем
даад. о =(§{+¦? л +
(4.2.39)
д) Формула средних значений Для неупреждающей функции G(t)
(4.2.40)
Поскольку G(t) — неупреждающая функция, в определении стохастического интеграла
а из разд. 2.9.5 мы знаем, что порядок операций ms-lim и < > может
быть изменен. Отсюда, переходя в (4.2.41) к пределу, получаем искомый результат.