Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
а решение уравнения (3.8.31) таково:
G2(s, Nz) = ti(elj +e-‘0]N.
Последнее выражение можно записать в виде
G2(s, t) =
1 + ^ (е“ + е-“ - 2)
(3.8.32)
(3.8.33)
(3.8.34)
(3.8.35)
если положить N/2 = td.
Используя обычное представление экспоненты через предел
видим, что если s достаточно мало: s ~ 1//V, то имеем lim G2(s, t) = C7,(j, t).
(3.8.36)
(3.8.37)
Путем разложения функций G,(s, Nt) и G2(s, t) в ряд по степеням exp(i s) можно получить соответствующие распределения вероятностей:
Л(л, t\0,0) = e-z,iI„(4td)
Р2(п, Nt\0, 0) = (}ГЛМ
(3.8.38)
(3.8.39)
Распределение с дискретным временем известно как распределение Бернулли, оно дает вероятность л-кратного выпадания одной сторо-
108 Глава 3
ны монеты при N подбрасываниях, если выпадания для обеих сторон равновероятны.
Переход к случаю непрерывного пространства блужданий тоже представляет интерес. Если полное перемещение обозначить
x = nl, (3.8.40)
то нетрудно найти его характеристическую функцию
6,(s, t) = = C,(/j, 0. = exp[(ei;i + е~ш - 2)td]. (3.8.41)
В пределе исчезающе малых шагов, 1 — 0, отсюда находим
t) — е\р (—s2tD), (3.8.42)
где D - lim {l2d). (3.8.43)
Эта функция есть характеристическая функция гауссовского распределения (разд. 2.8.1), которое имеет вид
р(х, / j0, 0) = (4nDt)~l,‘2 ехр (—л2/4Dt). (3.8.44)
Мы получили распределение винеровского процесса (разд. 3.8.1), или броуновского движения, согласно сказанному в разд. 1.2. Таким образом, винеровский процесс можно рассматривать как предельный процесс для случайных блужданий с непрерывным временем и бесконечно малыми шагами.
Предел
/ — 0, d — 0 при фиксированном D = lim (/2/т) (3.8.45)
о
случайных блужданий с дискретным временем дает тот же результат. Нетрудно видеть, что выражение, обозначаемое величиной D, представляет собой среднеквадратичное перемещение, совершаемое в единицу времени.
Можно также более прямым образом убедиться, что разложение правой части уравнения (3.8.26), записанной как функции лг, до членов второго порядка по / дает
д,р(х, t\0,0) = (/zd)d*p(x, 110, 0) . (3.8.46)
Итак, три указанных выше процесса тесно связаны между собой как бы на двух уровнях, а именно: при рассмотренных предельных условиях стохастические уравнения приближаются друг к другу, и при тех
Марковские процессы 109
же самых условиях решения этих уравнений также приближаются. Эти предельные переходы в точности те же, что использовал Эйнштейн. Действительно, сравнение с разд. 1.2 показывает, что хотя Эйнштейн моделировал броуновское движение случайным блужданием с дискретным временем, но тем не менее, разлагая уравнение, описывающее временную эволюцию функции распределения, он вывел модель винеровского процесса.
Результаты, полученные предельными переходами в этом разделе, представляют собой лишь несколько более строгий вариант вывода Эйнштейна. Имеются обобщения этих результатов на менее специальные ситуации, и замечательное утверждение состоит в том, что почти любой скачкообразный процесс имеет в качестве некоторого предела определенный диффузионный процесс. Однако точные предельные переходы не всегда так просты; например, есть пределы, при которых скачкообразный процесс становится детерминированным, и соответствующие случаи описываются скорее уравнениями Лиувилля (разд. 3.5.3), нежели общим уравнением Фоккера — Планка. Эти результаты представлены в разд. 7.2.
3.8.3. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Пуассоновский процесс рассматривался в разд. 1.4.1. Если электроны прибывают на анод или покупатели приходят в магазин с вероятностью в единицу времени d, то такой процесс подчиняется управляющему уравнению, в котором
Щп -\г 1 |н, I) = d , (3.8.47)
а при других значениях
W(n | /»,/) = 0 . (3.8.48)
Это управляющее уравнение имеет вид
дгР(п, t\n’, t’) = d[P{n - 1, t\ri, Г) - P(n,t\n’, /')]. (3.8.49)
Сравнение с (3.8.26) показывает, что оно представляет собой «односторонние» случайные блуждания, в которых пешеход шагает только вправо с вероятностью в единицу времени, равной d.
Уравнение для характеристической функции аналогично уравнению
(3.8.30):
d,G(s, /) = (/[exp (is) — 1]C(^, t)
(3.8.50)
110 Глава 3
и имеет решение
G(s, О = exp{fd[exp (is) — 1] (3.8.51)
при начальном условии, которое состоит в отсутствии посетителей или электронов в начальный момент t = 0. Указанное решение приводит к распределению Пуассона
Р(п, f |0, 0) = exp (— td)(td)"jnl (3.8.52)
