Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
со средним
<ЛГ(г)> = г</. (3.8.53)
В отличие от случайных блужданий теперь имеется единственный предел при / — 0, причем величина
Id = v
(3.8.54)
предполагается фиксированной. Предельный переход дает характеристическую функцию
lim {exp [td(&‘s — 1)]} =exp(if?«), (3.8.55)
;-o
которая дает плотность вероятности
р(х, /10, 0) = 5(х - vt). (3.8.56)
Нетрудно также видеть, что в этом пределе из управляющего уравнения (3.8.49) получается уравнение Лиувилля, решение которого и должно быть тем детерминированным движением, которое мы получили.
Можно провести и несколько более точный анализ. Раскладывая в ряд функцию, стоящую в экспоненте в (3.8.51), с учетом членов второго порядка по s, получаем
ф(я, t) = G(ls, t) ~ exp [/(ivs — s2Dj2)], (3.8.57)
где так же, как и в предыдущем разделе,
D = Pd.
Тем самым получена характеристическая функция гауссовского распределения с дисперсией Dt и средним vt. Следовательно,
р(х, /|0, 0) = (2nDt)~111 exp [- (х - vtfjlDt]. (3.8.58)
Марковские процессы 111
Очевидно также, что данное распределение есть также решение уравнения
d,p(x,t\0, 0)= -vdxp(x, /10,0) + ±Dd2xp(x,t|0, 0, (3.8.59)
которое можно получить разложением управляющего уравнения
(3.8.49) до членов порядка Р включительно, т. е.
Р(п- l,t\0,0) = dp(x- l,t\0,0)
~ dp(x,t 10,0) - lddxp(x,t\0,0) + y2ddlp(x,t\0,0). (3.8.60)
Эту процедуру можно назвать аппроксимацией или разложением: но она не есть предельный переход. Предел при / — 0 дает уравнение Лиувилля с чисто детерминированным решением (3.8.56). Фактически предельный переход при / — 0 с фиксированной величиной v соответствует значению D = 0. Такого же рода аппроксимацией, как и только что упомянутая, служит специальный случай разложения ван Кампена по параметру размера системы, который подробно рассматривается в разд. 7.2.3.
3.8.4. ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА — УЛЕНБЕКА
Все' предшествовавшие примеры случайных процессов не обладают стационарным распределением, т. е. плотность вероятности в любой точке стремится к нулю при t — оо, и тем самым с вероятностью единица данный процесс уходит на бесконечность.
Если добавить в уравнение, описывающее винеровский процесс, член, учитывающий линейный снос, то получится уравнение Фоккера — Планка следующего вида:
д,р = dx(kxp) + iD д2хр , (3.8.61)
где под р мы понимаем р(х, 11 лг0, 0). Данное уравнение описывает
процесс Орнштейна — Уленбека [3.5]. Уравнение для характеристи-
ческой функции
<fi(s) = J eisxp(x, t\x0, 0)dx (3.8.62)
имеет вид
д,ф + k.sdtf = — \ Ds2<1> .
(3.8.63)
112 Гпава 3
Для решения последнего уравнения можно использовать метод характеристик. Именно, если
ф, г,ф) = a v{s, 1,ф) = b (3.8.64)
(а и b— произвольные постоянные) представляют собой два интеграла вспомогательных уравнений
dt ds dф
1 ks \Оьгф
г, , (3.8.65)
то общее решение уравнения (3.8.63) дается равенством
f(u, v) = 0.
Частные интегралы нетрудно найти, интегрируя уравнения, включающие соответственно dt и ds или ds и d4>. Они имеют вид
и(л, /, ф) — s exp (— kt) и (3.8.66)
v(s, t, ф) = ф exp (Ds2(4k). (3.8.67)
Очевидно, что общее решение можно записать в виде v = g(u), где g(u) — произвольная функция и. Итак, общее решение таково:
ф(з, t) = exp (—Ds2/4k)g[s exp (—kt)]. (3.8.68)
Граничное условие
p(x, 01 x0, 0) = 8(x — x„) (3.8.69)
приводит к требованию
^(j, 0) = exp (ix0i), (3.8.70)
которое дает
g(s) = exp (Ds2j4k + ix0i) .
Следовательно,
-Ds2.
ф(я, t) = exp
4k
(1 — e 2kt) + isx0e
(3.8.71)
что, согласно разд. 2.8.1, соответствует гауссовскому распределению с
(X(t)} ~ х0 exp (—A:t) (3.8.72)
Марковские процессы 113
DW))
D_
2k
[1 — exp (—2kt)].
(3.8.73)
При t — оо среднее и дисперсия стремятся соответственно к предельным значениям 0 и D/2k, определяющим предельное стационарное решение. Это решение может быть также непосредственно получено, если положить Э,р = 0. При этом р удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера — Планка
дх кхр + \Ddxp = О-
(3.8.74)
Интегрируя его один раз, находим кхр + \Ddxp = 0.
(3.8.75)
Из условия нормировки вытекает требование, чтобы вероятность р и ее производная стремились к нулю при х —¦ — оо. Отсюда имеем
