Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 49

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 185 >> Следующая


Поскольку реализации процесса u(t) непрерывны, функция u(t) должна описываться уравнением Фоккера — Планка. Коэффициенты сноса и диффузии для этого процесса могут быть вычислены по формулам разд. 3.5.2. Можно записать следующее:

t+At

<м(, + д 0 _ щ I [Uot ф = < J ф)*> =0 (4.1.10)

t+A t t+At

([u(t + At) - «о]2|[м0, Ф = J ds J ds'(Z(s)Z(s')y (4.1.11)

t+At t+At

= J ds J ds'b(s — s') = At, (4.1.12)

так что коэффициенты сноса и диффузии суть

А(и0, t) = lim + А?) ~ и°^и°’ = 0 (4.1.13)

дг-»о At v 7

В(щ, ,)-lim Ф_|

дг-»о At 4 7

Таким образом, уравнение Фоккера — Планка является уравнением винеровского процесса, и мы можем записать

Г

J iit'W = u(t) = W(t). (4.1.15)

Мы приходим к парадоксальному результату: интеграл от ?(/) ра-вен функции W(t), которая не может быть продифференцирована,
120 Глава 4

как показано в разд. 3.8.1. Это означает, что с математической точки зрения уравнение Ланжевена (4.1.1) не существует. Однако соответствующее интегральное уравнение

x{t) — х(0) = J а[.ф), s]ds + J b[x(s), s]?(s)ds (4.1.16)

о о

допускает строгое истолкование.

Произведем замену, которая следует непосредственно из интерпретации интеграла от %(t) как винеровского процесса W(t):

dW{t) = W(t + dt)~ W{t) = at)dt, (4.1.17)

и запишем второй интеграл в виде

/ 6[.ф), s]dW{s), (4.1.18)

о

Это своего рода стохастический интеграл Стилтьеса от реализации W(t). Такой интеграл может быть определен (см. разд. 4.2).

Прежде чем перейти к этому, отметим, что требование непрерывности u(t), хотя и вполне естественное, может быть ослаблено, чтобы дать возможность описывать скачкообразные процессы стохастическими дифференциальными уравнениями. Об этом уже упоминалось в разд. 1.4.1 в связи с обсуждением дробового шума. Однако мы не считаем целесообразным заниматься здесь этим вопросом и отсылаем читателя к соответствующей литературе [4.1].

Обычно полагают, что ?(0 гауссовская и удовлетворяет также условиям (4.1.2). Для приведенных выше рассуждений это не требуется: гауссовская природа функции ?(/) следует из предположения о непрерывности u(t). Строго говоря, выбор того или другого предположения — дело вкуса. Однако предположение о непрерывности и (г) кажется нам более естественным, чем постулирование гауссовской природы ?(0> поскольку последнее может быть в принципе-сопряжено с необходимостью вычислять моменты произвольно высоких порядков.

4.2. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

4.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть С(/) есть произвольная функция времени, a W(t) — виреров-ский процесс. Будем определять стохастический интеграл

I

( G(t' )dW(t’) как интеграл Римана — Стилтьеса. Разобьем ин-
Расчеты методом Ито и СДУ 121

Рис. 4.1. Разбиение временнбго интервала, использованное в определении стохастического интегрирования.

тервал [/0, /] на п подынтервалов с помощью точек разбиения (рис.

4.1)

to ^ ti ^ ••• =s^ /„_] =s^ t (4.2.1)

и выберем промежуточные точки т( на каждом подынтервале

ti-1 ^ т,- /,¦. (4.2.2)

t

Стохастический интеграл | G(t' )dW(t’) определяется как предел



частичных сумм

= ? G(T&W{tt) - Ж(г,_,)] ¦ (4.2.3)

1-1

Интуитивно ясно, что, вообще говоря, интеграл, определенный как предел Sn, будет зависеть от конкретного выбора промежуточных точек т(, поскольку, если выбрать С(т,)= ^(т,), то

<s„> = < ? W(x,)[W{tt) - Ж(г,_,)]> (4.2.4)

1 = 1

= ? [min(r„ /,) - min(T„ /,_,)] (4.2.5)

/=1

= Ё(т,(4.2.6)

J=1

Если, к примеру, мы выберем для всех i

т, = at, + (1 - a)ti_1 (0 < а < 1), (4.2.7)
122 Глава 4

ТО

<5„> = ? (t, - /,_,) a = (t~ to) а. (4.2.8)

« = 1

Таким образом, среднее значение интеграла, в зависимости от выбора промежуточных точек может быть любым — от нуля до (t — t0).

Будем поэтому выбирать промежуточные точки так, чтобы а = О, иначе говоря,

т, = Л_,, (4-2.9)

и определим стохастический интеграл Ито от функции G(t) как

f G(t')dW(t') = ms-lim 2 G(f,_i)[fP(f,) — W(t,_,)]

t0 '=1

(4.2.10)

Под ms-lim мы понимаем среднеквадратичный предел, как он определен в разд. 2.9.2.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed