Наблюдаемость электроэнергетических систем - Гамм А.З.
ISBN 5-02-006643-5
Скачать (прямая ссылка):
Эта система всегда совместна. Покажем это для системы (3.6), эквивалентной (3.4а). Имеем
ZiST1 О ON /B11 О О \/Д\ /Bt11 о °\(аЛ
Io Bl2O \ О B22 B23I Дх<2> I=I О Bt2 О I I й2 J,
\0 Віз О/ \о О О / V Дх(э) / Vo Bi з о/ W3/
/BtiiB11 о о \ /Дх<'>\ /Bl1Cl1S
0 Bl2B22 Bl2B23 IlAxf2M= { Bl2Cl2 J . (3.7)
\о Bj3B22 BliB231 \ д*(3) J Kbt23CI2J
В этой системе с?э исчезло*, а третье уравнение эквивалентно второму. В самом деле, подставим вместо d2 в третье уравнение его значение d2 = B22Ax^ +B23Ax^.
Тогда третье уравнение обращается в тождество. Поэтому приведение (3.7) к ступенчатому виду сделает последнюю строку нулевой н последний под-вектор правых частей тоже нулевым.
* Это означает, что информация, содержащаяся в d3, не может быть использована при наличии ненаблюдаемых переменных.
6. Зак. 2158 81
Итак, указанное выше приведение системы к ступенчатому виду можно делать для нормальной системы уравнений, и именно доя вее будем в дальнейшем рассматривать (3.6), полагая d3 - 0.
Соответственно Дх(1> =Bil определяет совокупность наблюдаемых переменных, порядок этого вектора щ , Ax( > к Ax(i) - ненаблюдаемые племенные. . m
Множество решений Axк ’ и Axk ' определяется соотношением
B22 Дх(2) + В23Дх(3,=<і2 . (3.8)
Проследим эти преобразования на приведенном выше примере (см. рте. 3.1). Перепишем систему уравнений для него, приняв P1 = 1,Р2 -2
2Д5і + А82 + Дб3 = 1,
Дбі +0,5 Д62 + 0,5Д63 - 2,
AS1 + 0,5Д62 _1,5Д83 =-3.
Приводим эту систему к ступенчатому виду:
умножаем уравнение на 0,5 и вычитаем из второго и третьего уравнений: 2Д6, + Д62+Д63 =1, 1
0Д5, +0Д62+0Д53 = 1,5, }
0Д5, + 0Д62 - 2Д53 = -3,5. J
Видно, что система несовместна, так как для второго уравнения получился абсурд.
Приводим систему к нормальному виду:
/2 I I N / 2 1 і \ /Д8, \ /2 1 I \ / 1
1 0,5 0,5 I і t 0,5 0,5 J Д62 I = I 1 0,5 0,5 I 2
.1 0,5 —1,5 / Vl 0,5 -1,5/ \Д53/ Vl 0,5 -1,5/ V-3
6 3 1 \/дМ Z1 \
3 1,5 0,5 Д62 I =I
1 0,5 3,5/ \ Д53/ \ 6,5
Приводим систему к ступенчатому виду: (Ь 3 1 \ /МЛ / 1 '
0 0 0 I Д62 1=1 о \0 О зі/ VaW \6-
6 3 1 \ 0 0 3-1
Д5л /1 Дб2 I= /6—
Vo О О 7 ЧД53/ \ 0 ^
Отсюда Д53 = 1,9; 6Д«, + ЗД62 = -0,9.
82
3.2, ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РЕЖИМА НЕНАБЛЮДАЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ГАУССА
Как отмечалось выше, для однозначного определения Дх^ н Дх ^3-* необходимо наложить дополнительное условие, например, потребовать минимальной нормы вектора неизвестных
шіп Г Axj (3.9)
1 = 1
или минимума взвешенной нормы этого вектора
шіп Г kfAxf, (ЗЛО)
/ = і
где к( — вес., определяющий доверие к исходному приближению соответствующей переменной и учитывающий различие размерностей компонент Axi.
Наложение условий (3.9) и (3.10) имеет вполне определенный ’’физический” смысл: оно соответствует минимуму нормы вектора поправок к предыдущему приближению. В принципе возможны и другие условия, приведенные в таблице.
Задача определения векторов Дх^ и ставится следующим обра-
зом. Найти
Inmfa = ZfciAxi2], Axi є Д*(2> U Д*<3> (3.11)
при ограничении
B22 Axm + B23 Дх(3) = d2 . (3.12)
Решать эту задачу можно методом неопределенных множителей Ла-
гранжа
L = Ах(2)тк2Ах<2) + Ax^k3Axm + Л(В22 Дх(2) + B23 Axm - d2),
где кг и къ — диагональные матрицы весовых коэффициентов; Л -- вектор неопределенных множителей Лагранжа.
Взяв производные по Дх^ и Дх^,получим
-JiLs = 2 Ax^k2 + Л B22 = 0, (3.13)
SAx^
ы
IAx^k3 +AB23 =0. (3.14)
ЭД*Р>
Из (3.13) можно определить Л:
Л= -2Ax12^k2Bi12 , (3.15)
так как В22 — треугольная невырожденная матрица. Подставляя Л в (3.14), имеем
2Ax^k3 -2Ax^k2B2IB23 = 0.
Соответственно этому
Д*<3> = к;'Bh (BihYk2Ax^ . (3.16)
Дополнительные условия определения оценок ненаблюдаемых подсистем
Выражения для переменных Примечание
Axf3) j AxW
Фиксация Ax Axf2) ~В2\ (dj --B23 Axf3) Axf*) = const Ax^2) часто не имеет физического
тш[д* +
+ Axf3 )Ч3 AxO1)]
обоснования
Ax^ = [В1г+ __ Axf3) = fc3_1 Bt23 (S2^1)tX Взвешенная нор-
+Вггк31 Bx13 (B;\f к2]d2 XAxi2) ма поправок для
ненаблюдаемых
переменных
минимальна
min[(Ax^ -C2X
XAxfjV *20^г)-
-CjAxf1)) + (Ах(3)-
- C3AxWfk3 (Axf3)-
- C3 Axf1))]
Ах(г) = [B22 + B23X КЛВ\г(Вг\ fk2 ] -1X X [d2 -В23(С3 --к~ Ibt23 (B-^fk2C1)X XAxO)]
=C3^yf1) +
+ *з<(Я-Л)ТХ Xk2 (Axf3)-CsAxO))
Поправки для ненаблюдаемых переменных минимально отличаются от поправок, пропорциональных поправкам к наблюдаемым переменным
Подставляя данное выражение для Дх^) в (3.12), получим
[S22 + B23Jcl1Bi3 (BUfk2] Дх(2> = d2 . (3.17)
Отсюда определяется Axf2). Если размерность т3 вектора Дх^-* меньше т2 — размерности Дх ^, то для облегчения этой процедуры можно использовать лемму об обратной матрице [1]:
[#2 2 + ^23^3^23 (^2lf^2^ = $2 2 ~ B2\В2 3^3* X
X [513(^)^2^23^+4^523^2)1 *2, (3.18)
где I — единичная матрица размерности т3. Зная Ax ^ , из (3.16) получим Длт^). Выражения для этих величин при других условиях приведены в табл. 3.1.
