Наблюдаемость электроэнергетических систем - Гамм А.З.
ISBN 5-02-006643-5
Скачать (прямая ссылка):
Как отмечалось выше, задача статического оценивания сводится к тому, что по значениям V — вектора измеряемых параметров режима (перетоки мощности по элементам ЭЭС, узловые мощности (инъекции), модули напряжений в узлах, токи) необходимо определить оценки так называемого вектора состояния х порядка п, однозначно определяющего все остальные параметры режима (чаще всего в качестве компонент вектора х выступают модули и фазы напряжений узлов, регулируемые коэффициенты трансформации трансформаторов). Для получения решений используется система уравнений т-то порядка
Rr'n[V-V(x)] = 0, (3.3)
в общем случае несовместная из-за ошибок измерений Vy матрица Ry представляет собой обычно диагональную матрицу, элементы которой равны дисперсиям ошибок измерений компонент вектора V. V(x) - обычные зависимости измеряемых величин от модулей и фаз напряжений узлов и коэффициентов трансформации, определяемые известными соотношениями электрической сети. Роль весовой матрицы существенна только в случае хотя бы локальной переопределенности (избыточности) системы (3.3). Система (3.3) нелинейная, поэтому ее решение получается путем последовательной линеаризации (аналог метода Ньютона для определенных систем) путем разложения (3.3) в ряд Тейлора в окрестности точки хк, где к = ”0,1,..., — номер итерации:
Rva \V - V(xk)\-RyA — Дх = 0, (3.4)
Ьх
Д^Ат + 1 ~ -^ft + 1 Xji .
В дальнейшем будем иметь дело именно с этой линейной системой. Дня простоты воспользуемся обозначениями
b~ R~v1/2 [V - F(Xft)] - вектор порядка т,
„у W
A=Rv 42 — - матрица размера тХ п,
Ьх
Ax -векторпорядкап,
* В отличие от данных работы [54] в.о,н.о. получаются только для ненаблюдаемых районов и не зависят от исходного приближения; оценки наблюдаемых районов при этом не искажаются.
79
соответственно вместо (3.4) будем ссылаться на ААх = Ь.
(3.4а)
Если ранг матрицы А(тпкА) равен п (условие алгебраической наблюдаемости) , то система имеет единственное решение
Еслн гапкЛ < п, то однозначное решение получено быть не может. Для однозначности решения необходимо ввести дополнительные условия, например, зафиксировать г компонент вектора х, где г =п — rank (А) -неполнота ранга. Определяемые из этих условий компоненты вектора Дх обозначим Дх^ . Для части оставшихся компонент вектора Дх решение будет зависеть от значений вектора Дх^3*; обозначим подвектор из таких зависящих от Дх^ компонент через Дх^2*. Остальные компоненты решения не будут зависеть от произвольного выбора значений Д*(3), назовем вектор из этих компонент Дх^1). Они-то и будут образовывать наблюдаемые районы ЭЭС.
Задача состоит в том, чтобы выделить наблюдаемые районы ЭЭС и получить в них однозначные оценки параметров режима, в ненаблюдаемых районах получить в.о.н.о.
Для пояснения сутн задачи воспользуемся несколькими известными нз линейной алгебры теоремами [43].
Согласно [43], ступенчатой является матрица, обладающая следующими свойствами:
1) если /-я строка нулевая, то (і + 1)-я строка также нулевая;
2) если первые отличные от нуля элементы (лидеры) в і-й и о- +і)-й строках располагаются в столбцах с номерами Iq Viki +і соответственно, то к{ < kj +1. Пример ступенчатой матрицы приведен на рис. 3.2.
Элементарным преобразованием матрицы названы: перемена местами двух строк матрицы; прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое число.
Теорема 1 [43]. Всякую матрицу конечным числом элементарных преобразований строк можно превратить в ступенчатую матрицу.
В качестве элементарного преобразования второго типа может выступать обычная процедура исключения по методу Гаусса (после предварительного упорядочения строк в порядке неубывания номера лидера). Она-то и используется при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 2 [43]. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Приведем исходную матрицу А к ступенчатому вицу, а затем перестановкой столбцов и перенумерацией соответствующих переменных х приведем ступенчатую систему уравнений к виду
Ax = (АТ ATtAr ь.
(3.5)
(3.6)
Z3
SO
Для уверенного выбора ведущего элемента в процедуре Гаусса можно на fc-м шаге находить максимальные по модулю д,у элементы подматриц Afc, где Ak — подматрица^, подлежащая преобразованию на данном fc-м шаге.
Если с?з Ф 0, то исходная система несовместна, т.е. не существует решений, одновременно удовлетворяющих всем уравнениям данной системы.
Рис. 3.2. Ступенчатая матрица
Это проявляется в появлении неудовлетворяющегося ни при каких Ax соотношения
0Дх(1) ¦+ 0Дх(2) + 0Дх(3) =db
при 6?3 Ф 0.
Системы, решаемые при оценивании состояния, конечно, в общем случае несовместны из-за ошибок измерений. Эта трудность преодолевается приведением их к так называемому нормальному виду, когда исходная система (3.4а) умножается слева тАт:
(ArA)Ax= Ar Ь.
Система дает не точное, а такое решение Ах, которое минимизирует взвешенную сумму невязок уравнений, т.е. решение в смысле метода наименьших квадратов.
