Наблюдаемость электроэнергетических систем - Гамм А.З.
ISBN 5-02-006643-5
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая ’’треугольный” вид матрицы S22, удобно для решения задачи (3.11)-(3.12) использовать метод приведенного градиента [55]. Для этого выражаем Дх ^2-* как функцию Дх^-* из (3.12) :
Дх^ =-#22(^2 -Я23Дх(3)). (3.19)
Тогда целевая функция (3.11) будет зависеть только от Дх^. Соответственно
j ЭДх^2) _ ~
ЭД^“з^|0+ЭД^)ЭД^“ ’
84
Ъ<л
где эд7®
явная производная, определяемая как
-^t I = 2Ах^к3, =2Д^k2
ЭДх(3> I0 ЭДх<2>
а из (3.19) ЭДтР) ЭД*Р)
- -B22B2I ¦
С учетом (3.19)
dip
• 2Д*(3>т?з - 2ДX^k2Bz12B2i =
ЭДдгР)
= 2Л х^тДгз - 2(d2 -B23Ax^y (B2Wk1Bi12B23 = о.
Отсюда
{ВІї{В~2\Ук2Вг\Вгг + ?3)Дх(3) = Bh (BAfk2B2Id2 . (3.20)
Заметим, что трудоемкость определения Ax ^ из (3.20) практически эквивалентна трудоемкости решения системы (3.17). Это означает, что при W3 < W2 целесообразно решать задачу методом приведенного градиента. После вычисления Ax^3-1 вектор Ax^ определяется из (3.19). Полученные оценки Ax^ и Ax^ при использовании критерия (3.10) и являются обобщенными нормальными оценками.
Получим в.о.н.о. для приведенного выше примера. Сначала воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, веса примем равными, т.е. ki = к2= 1.
Векторы Ax и Ax содержат по одной компоненте:
Д*Р) = Дбі, Дх(3) = Д62 ,
В 22 = 6, B2 з = 3, d2 — —0,9 .
Тогда в соответствии с (3.17)
(6 + 3 ¦ 3 • I ) Д6, = -0,9 при Д8, = -0,12.
6
Из (3.16) определяем
Д6г = 3 • - ¦ (-0,12) = -0,06.
6
Естественно, такие же результаты получаются и при использовании формул (3.20) и (3.19) последовательно:
(3 . I . I .3 + 1)Д{2 =3.1.1 (-0,9); AS2 = -0,06;
6 6 6 6
Д81 = - (-0,9 + 3 ¦ 0,06) = -0,12.
6
85
Обратим внимание на следующее. Поскольку часґ© трудно определить, какие из компонент вектора Дх отнести к наблюдаемом, т.е. к подвектору Дх^1-*, то можно включиїь в матрицу В22 и матриі#У Тогда к Дх'1' будут отнесены те переменные, которым соответствую1 в Р-17) нулевые строки матрицы
В23къ1 В\ъ Ф22У к2
или, поскольку к2 и к3 — диагональные матрицы, та нулевые строки матрицы
ВгъВЪъ{В~2\У. (3.21)
Это легко проверяемое условие, для выполнения которого достаточно, чтобы соответствующая строка матрицы B23 была рав^а нулю.
Приведение матрицы системы уравнений к ступ^нчітому виду — не единственный способ получения решения. С вычислительной точки зрения часто более эффективным оказывается метод Холенного [56], в котором используется симметричность системы нормальных уравнений.
3.3. ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНОК МЕТОДОМ ХОЛ^ДКОГО
В методе Холецкого матрица системы нормальный уравнений ArAAx = = АТЬ подвергается треугольной факторизации, т.е. лреДставляется в виде произведений двух матриц
ArA = LLr, (3.22)
где L — нижняя треугольная матрица.
Решение ищется сначала для вспомогательного вект(Фа неизвестных у = Lt Ax (3.23)
из системы уравнений с треугольной матрицей
Ly=Arb, (3.24)
а затем прн найденном у из (3.23) находится Дх та^же путем решения системы с треугольной и диагональной матрицами.
Если ранг т матрицы А меньше п, где п — число уравнений, то возникает п - г нулевых строк в треугольном разложений т-е после соответствующей перенумераций строк н столбцов матрицы принимают вид
где L1 j — треугольная матрица порядка г; L2I — прямоугольная матрица
размером (п — г) X г, соответственно вместо (3.24) получаем две под-
системы уравнений
Lwy-А\ф, (3.25)
Li\y= A\2h (3.26)
Вторая подсистема (3.26) является линейной комбинацией подсистемы (3.25), т.е. еслн у удовлетворяет (3.25), то он удовлетворяет и (3.26), поэтому (3.26) может не рассматриваться.
Докажем это. Для линейной зависимости (3.26) от (3.25) достаточно, чтобы
L2 jLj ‘ А\ J = Aj2 ¦
Из исходного разложения
{л'А,л ,ч ( °\( lt^ M
XAr12I XL21 0/( 0 0 )
имеем
-^U-^ U “ LjiLj1 ,
А\&4 11 = L2 iL j j.
Отсюда
Ljj- Ll\A\IA J J,
ii" L21L11Aii^1I,
Матрицами невырожденная, поэтому Ai2= Lz1Li \АГ г }
что и требовалось доказать. Из (3.25) определяется у . Возвращаясь к (3.23), имеем*
/ Axx \
<«‘?ЦД J=y (327)
Соответственно вводим дополнительное условие минимизации взвешенной нормы вектора:
шт(ф= %(Дх1 fci Длі + Дх2&2^2))- (3.28)
Аналогично тому, как это делалось в предыдущем подразделе, решим задачу минимизации (3.28) при ограничении (3.27), составляя функцию Лагранжа, либо методом приведенного градиента. В первом случае
L' Axlk1Axi + Axlk2Ax2 + A(Lj^X) +LhAx2 -у), (3.29)
где Л — вектор множителей Лагранжа лорядка г,
ZLfiAxx= Axlki* ALh=O, (3-30)
ЪЦЪАх2 =Axlki + ALh=O. (3.31)
Из (3.30) определяем А:
Л= -Axlkl(Lll)-K и подставляем в (3.31):
Axifc2-A^Ifci(Lu)-1Lj1=O. (3.32)
itlAx1 включает наблюдаемые переменные Ax ^ и переменные дх йхг« Ax ^ .
8?
Из (3.27) выражаем Ax1:
Д*1 = V-I1)-1 (у-LltAxi) , (3.33)
и подставляем в (3.32), откуда уже находим Ax2:
Ax2 = VziLilk1(Ll1)-1Ll1 + ^y1L2 ,Lilk ,(Lt1 ,У'у. (3-34)
Поскольку матрица L, 1 треугольная, то процедуры нахождения вектора (Lrxl)-1 у и матрицьіі21-^11 довольно просты, основная трудоемкость определяется трудоемкостью решения системы (3.34) порядка п - г. Применять для решения (3.34) лемму об обратной матрице нецелесообразно, так как тогда потребуется иметь дело с системой г-го порядка, а обычно г > п — г.