Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
что последние два уравнения выполняются в отдельности. Напишем уравнение
(57.37) в виде
?(^) = 0. (57.48)
С другой стороны, дифференцируя равенство (57.47), получим
VV' =^Р'. (57.49)
В соединении с (57.41) это дает
V_?_ _ __ const f (57.50)
и, следовательно, уравнение (57.37) выполняется. Таким образом, из трех
уравнений: (57.35), (57.36), (57.37) - независимыми являются только два.
Так как, в силу (57.41)
Fdr = dp, (57.51)
262 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ [гл. V
то подстановка найденных значений F и V в выражение для ds3 дает
с2 уз
= V3 Л2 - ^5 fi?p2 - р2 (fi?82 + sin2 8 d'f), (57.52)
где V2 имеет значение
^2_С2_М. (57.47)
Пока используются только уравнения тяготения, а условия гармоничности для
координат не учитываются, величина р будет произвольной
функцией от г (и, следовательно, г будет произвольной
функцией
от р). Но условия гармоничности координат приводят к тому, что эта
функция определяется однозначным образом. В самом деле, из условия
гармоничности
vriНт-'Н'=° <57-08>
и соотношения
VF = cp' (57.41)
получаем
= <"¦">
Подставляя сюда значение V2 из (57.47), будем иметь
? dp
(р2 - 2"р) g] - 2г = 0, (57.54)
где мы положили для краткости
1М
а = -Цг. с2
(57.55) Область изменения р есть
р>2", (57.56)
так как только в этой области будет У"2^0.
При помощи подстановки
р = a (l-f2) (57.57)
уравнение (57.54) приводится к уравнению Лежандра
2г=° <67-68>
для области
2> 1. (57.59)
Общее решение уравнения Лежандра (57.58) есть
г = СРХ (z)-\-C'Qx (z), (57.60)
где
/\ (*) = *; Q1W = -Jlnj±{-1 (57.61)
§ 58] ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ ПЛАНЕТЫ 263
функции Лежандра первого и второго рода. При z = 1 функция Ql обращается
в бесконечность. Поэтому член, содержащий Qt, должен отсутствовать, и в
(57.60) остается член, пропорциональный z. Из сравнения значений р и г
при больших z нетрудно заключить, на основании (57.40) или (57.45), что
г = az. (57.62)
Таким образом, мы имеем окончательно
р т -|- <х. (57.63)
Подстановка этого значения р в найденное выражение для ds3
дает
ds2 = с'2 dt'2 - dr2 - (г + ")¦ (^)2 + sin2 " фр2), (57.64)
где, согласно (57.55), постоянная а пропорциональна значению
сосредоточенной массы М.
Выражение для ds2 в форме (57.52) (в произвольных, не-гармони-ческих
координатах) было впервые получено Шварцшильдом [18j и часто называется
по имени этого автора.
§ 58. Движение перигелия планеты
Найденное строгое решение уравнений тяготения может быть
применено к исследованию поля тяготения Солнца и планет.
Мы имеем
ds2 где
=с2 ?+-:) dt'-(й;)dr2-(r+a)2 (d')2+sm2 ^d'^' c58-°1 >
"=^- (58-02)
Пропорциональная массе M постоянная а имеет размерность длины и
называется гравитационным радиусом массы М. Для Солнца, и тем более для
планет, гравитационный радиус а во много раз меньше геометрического
радиуса L (в качестве L можно взять радиус шара одинакового объема с
данным телом). Мы можем составить следующую табличку:
Солнце Земля Луна
о 1,48 км 0,443 см 0,0053 см
L 696 000 км 6370 км 1738 км
a:L 2.10-6 7.Ю"10 З-Ю"11
Для сверхплотных звезд величина а того же порядка, как для Солн" ца,
тогда как L, хотя и меньше, чем для Солнца, но все же не более чем во сто
раз. Благодаря малости отношения а: L метрика
264 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ [гл. V
пространства-времени мало отличается от евклидовой даже вблизи и внутри
масс. Однако нужно помнить, что, согласно (55.45), уже в ньютоновом
приближении величина g00 отлична от постоянной и равна с'3 - 2U и что
отклонение от постоянного значения величины gw проявляется (для медленных
движений) гораздо более чувствительным образом, чем такие же
относительные отклонения в пространственной части интервала.
Сравним найденное строгое решение уравнений тяготения с приближенным
решением, рассмотренным в § 55. Для этого нам нужно перейти в (58.01) от
сферических координат к прямоугольным, которые будут гармоническими. Мы
можем представить в (58.01) пространственную часть
dl* = dr2 + (г + a)3 (dP + sin2 1) dP) (58.03)
в виде
dl1 = . а1 dr2 + (\ (dr2 + г3 d'P + г2 sin2 8 d'f).
(58.04)
В последнем выражении уже легко перейти к прямоугольным координатам, и мы
получим
ds- = с2 ¦?=¦?¦ dt* - (1 -f yj (dx* + dx* + dx*) -
- 73Д- PL (Xi dxx + x^ dx., -f- xa dxsf, (58.05)
откуда
^ = -(l+y)4*-rj^ (58.06)
и, кроме того,
^оо = Tqr^r • goi = °- (58.07)
Пренебрегая в (58.05) квадратом отношения ajr, мы придем к приближенной
формуле (55.45), в которой
U = c2j = -^- (58.08)
есть ньютонов потенциал.
Из формул (58.06) и (58.07) получается следующее значение
определителя g в гармонических координатах:
g = -c2(1 + ^)4. (58.09)
Заметим, что величина
1+7 (б8Л0>
ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ ПЛАНЕТЫ
265
удовлетворяет уравнению Лапласа с евклидовыми коэффициентами. В следующей
главе (§ 68) мы увидим, что корень четвертой степени из (-g/c2) и в общем
случае приближенно удовлетворяет уравнению Даламбера с евклидовыми
коэффициентами.
Из тех же формул (58.06) и (58.07) или же путем непосредственного
