Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 54. Сравнение с постановкой задачи в теории Ньютона. Предельные условия
В теории тяготения Ньютона потенциал тяготения удовлетворяет уравнению
AU = - 4iqp (54.01)
и стремится к нулю на бесконечности так, что
lim rU = чМ, (54.02)
где Л4 - полная масса всех тел рассматриваемой системы, равная
Л4 = J р dx dy dz. (54.03)
Теория Эйнштейна, основанная на уравнениях тяготения
№ - = (54.04)
должна в первом приближении давать то же, что теория Ньютона. Теория
тяготения Ньютона применима к таким распределениям масс, для которых
полная масса, выражаемая интегралом (54.03), распространенным по всему
бесконечному объему, остается конечной. Этому условию удовлетворяет, в
частности, распределение масс, имеющее островной характер. Под этим мы
разумеем тот случай, когда все массы рассматриваемой системы
сосредоточены внутри конечного объема, отделенного весьма большим
расстоянием от остальных масс, не входящих в систему. При достаточно
большом удалении остальных масс влиянием их на данную систему масс можно
пренебречь и рассматривать ее как изолированную
При формулировке теории Эйнштейна мы также будем исходить из
предположения об островном характере распределения масс. Это
предположение дает возможность поставить (как и в теории Ньютона)
определенные предельные условия на бесконечности, что делает задачу
математически определенной.
Теоретически мыслимы и другие предположения, например, предположение о
равномерном (в среднем) распределении масс во всем
16 Зак. 486. В. А. Фок
242
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
пространстве. Такая точка зрения предполагает рассмотрение столь огромных
расстояний, что по сравнению с ними даже расстояния между галактиками
должны считаться весьма малыми. Мы мало знаем о распределении масс в
таких огромных пространствах. Поэтому теория таких огромных пространств
будет по необходимости менее достоверной и менее доступной опытной
проверке, чем теория астрономических явлений меньшего масштаба.
Основная часть этой книги будет посвящена случаю островного распределения
масс. Предположение о равномерном распределении масс будет
рассматриваться лишь в §§ 94 и 95, где будет дана теория пространства
Фридмана - Лобачевского, к которому приводит это предположение.
Итак, мы будем считать, что в среднем пространство-время евклидово
(точнее, псевдо-евклидово или галилеево) и что отклонения геометрии
пространства-времени от евклидовой обусловлены наличием поля тяготения.
Там, где поле тяготения отсутствует, геометрия должна быть евклидовой.
При островном распределении масс поле тяготения на бесконечности
стремится к нулю. Поэтому мы должны предположить, что на достаточно
большом удалении от масс геометрия пространства-времени становится
евклидовой. Но там, где геометрия евклидова, существуют галилеевы
координаты х, уу г, t, в которых квадрат интервала имеет вид:
ds* = с*- dt2 - (dx'2 + dy* -f dz'). (54.05)
Поскольку опыт показывает, что и во всем пространстве геометрия мало
отличается от евклидовой, следует ожидать, что существуют такие
переменные, в которых выражение для квадрата интервала мало отличается от
(54.05) во всем пространстве. Более точное математическое определение
этих "квази-галилеевых" координат будет дано в дальнейшем.
Заметим, что теория Ньютона проще всего формулируется именно в галилеевых
координатах (инерциальная система отсчета). Поэтому сравнение с ней
теории Эйнштейна, которая является ее обобщением, следует производить в
таких координатах, которые по своим свойствам ближе всего к галилеевым.
Теория Нью гона является нерелятивистской. Но для перехода от
релятивистской теории к нерелятивистской необходимо выделить в качестве
большого параметра скорость света с. Поэтому мы не будем вводить величины
с в выражение для временной координаты и положим, вместо (35.03), просто
xQ - t\ х1 = х\ х.2 = у; хл - г. (54.06)
Таким образом, переменная х0 будет иметь у нас теперь значение времени t,
а не величины ct, как раньше.
§ 54] СРАВНЕНИИ С ПОСТАНОВКОЙ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ НЬЮТОНА 243
Выражение (54.05) для квадрата интервала напишется теперь:
Это выражение должно иметь место на достаточно большом расстоянии от
масс, где геометрия является евктидовой.
Из сравнения с общим выражением
мы получим следую циг предельные значения gx, на бесконечности:
Соответствующие предельные значения для контравариантных компонент
фундаментального тензора будут равны
Эти формулы можно рассматривать как предельные условия для
фундаментального тензора.
Написанных предельных условий, однако, недостаточно, и к ним нужно
присоединить другие, характеризующие асимптотическое поведение разностей
g^,- (g ^ на большом удалении от масс.
В предыдущем параграфе мы видели, что уравнения Эйнштейна
представляют (по крайней мере, при условии Г' = 0) уравнения волнового
типа, в которых главные члены имеют вид оператора Далам-бера. Вне масс
тензор 7>' равен нулю, и уравнения приводятся к виду
Предположим, что на больших расстояниях разности и
