Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 90

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 167 >> Следующая

(У*)к = (аия?)к = а"уа, (56.19)
где
у^-^к-(1{к)<'Щ (56-20>
есть вторая ковариантная производная от V (в трехмерном смысле). Так как
Vlk - Vki, то безразлично, который из двух значков V(k будет
поднят; поэтому мы можем писать вместо (Vl)k просто V*, после чего
254 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ [гл. V
формула (56.17) примет вид:
(Rlo,ok)g=V-Vlk. (56.21)
Аналогично вычисляем
(/?U)y = + (56.22)
и после небольшого преобразования
(56.23)
где Vik имеет значение (56.20).
Выразим теперь четырехмерный тензор Римана через трехмерные величины. По
общей формуле (44.22) мы имеем
R^ ~ Я*, = я; ov + Rl v, (56.24)
Отсюда, вследствие (56.14) и (56.23),
(#"), = (Я")а + ^, (56-25)
где (Rlk)a есть трехмерный тензор Римана. Полагая же в (56.21) I ¦- k и
суммируя по k, получим
(Roo\=-V-bV' (56.26)
где
bV=Vl = aikV:k (56.27)
есть трехмерный оператор Лапласа, который можно написать в виде
ЬУ=^ - (Уаа**^\. (56.28)
У а дхк\ дх()
Что касается смешанных компонент четырехмерного тензора Римана, то
вследствие (56.15) они равны нулю:
(Я4о), = 0. (56.29)
Выпишем также инвариант четырехмерного тензора Римана. Он равен
(Я)й=-^-(Я)а- (56-3°)
где (Я)" - инвариант соответствующего трехмерного тензора. Подставляя
найденные выражения в формулу
= (56.31)
мы можем выразить тензор Эйнштейна через трехмерные величины.
СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ТЯГОТЕНИЯ
255
Вводя для консервативного тензора трехмерного пространства обозначение
Ak = (#,*)"'~j^iu(R)a (56.32)
и разумея под А трехмерный инвариант этого тензора, равный
А - aikAik - - у (/?)", (56.33)
мы получим для составляю дих тензора (56.31 выражения *):
Оц; = Ацс + ~у {Vik - (56.34)
Ош = 0, (56.35)
O00= - V2A. (56.36)
Заметим, что, согласно (Г.13), трехмерные контравариантные составляющие
Aik непосредственно выражаются через ковариантные составляющие
трехмерного тензора кривизны четвертого ранга.
Согласно уравнениям тяготения Эйнштейна,
= (56-37)
В случае пустого пространства 7" = 0. Покажем, что единственным
статическим решением уравнений Эйнштейна для пустого пространства, не
имеющим особенных точек и удовлетворяющим предельным условиям, будет
решение, соответствующее евклидову пространству и псевдо-евклидову
пространству-времени.
В случае 0^, = 0 из написанных уравнений легко выводится
Д1/ = 0. (56.38)
Это есть уравнение эллиптического типа для V, представляющее обобщение
уравнения Лапласа. Функция V должна на пространственной бесконечности
стремиться к постоянному значению, а ее производные должны стремиться к
нулю. Но единственным решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим этим
условиям, будет постоянное значение V. Если же V постоянно, то
тензэриальные производные Vlk равны нулю, а тогда уравнения Oik = 0 дают
Aik = 0, и, следовательно, тензор кривизны трехмерного пространства равен
нулю, а самое пространство - евклидово (см. Добавление Г).
§ 57. Строгое решение уравнений тяготения для одной сосредоточенной массы
В случае одной сосредоточенной массы можно найти строгое решение
уравнений тяготения, обладающее сферической симметрией. Так как нас
интересует статическое решение, мы можем воспользоваться
*) Эти выражения приведены в книге Левп-Чивнта [l4J.
256 ОСНОВЫ ТЙОРИИ ТЯГОТЕНИЙ [гл. V
формулами Предыдущего параграфа и писать ds2 в виде
ds^-V'^dP - dP, (57.01)
где
dP = alk dx{ dxk. (57.02)
Если xv х.2, х3 - гармонические координаты, мы можем ввести
соответствующие им сферические координаты, положив
xt = г sin 9 cos (r), ^
х2 = г sin 9 sin <р | (57.03)
jc3 = rcos9. j
Предположению о сферической симметрии соответствует выражение для dP вида
dP = F2 dr2 -f- р'2 (</92 -f- sin2 9 d<p2), (57.04)
где F и p суть функции от одного г. При этом коэффициент V также должен
зависеть только от г.
Заметим, что если ds'2 имеет принятый здесь вид, то оператор Даламбера от
некоторой функции напишется
г-i и- _ 1 w 1 I 1 0 ( v?2 dw \ , д*"? I ^
^ К2 дР р2 { VF dr \ F дг )~Г }' (э7-05)
где А'Ф1' есть оператор Лапласа на шаре:
ДТ = (sin 9 -А- . (57.06)
sin 9 д9 \ ' sin- 9 д'р '
Время t есть, очевидно, гармоническая переменная, так как ? t - 0. Чтобы
координаты (57.03) также были гармоническими переменными, необходимо
выполнение условий ? xi = 0. Но если xt есть одна из величии (57.03), то
Д*х>=-2л> (57.07)
и условие гармоничности для xt дает
wjH-T)-2'530' (57-08)
Это есть дополнительное (помимо уравнений Эйнштейна) уравнение для
величин V, F, р.
Составим теперь скобки Кристоффеля для дифференциальной формы (57.04). Мы
должны положить
а"" = F2: ач = р2; = р2 sin2 9,
§ 57]
СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ
257
и для контравариантного трехмерного метрического тензора
1 . \
аГ> - ръ abf = 0;
а°
а*г = 0;
1 sina&
а'" = 0.
'I
(57.10)
Отсюда получаем по общим формулам следующие выражения для 18 скобок
Кристоффеля:
Г'' - 1 гг -
1 №
IL-
F '
!?_• р2 '
г*. = 0;
Га" = 0;
Tt = 0, Г& = 0,
Г' -
sin3 Я; = - sin Я cos Я; = 0,
Г!-)" = 0; 1% = 0; Гв, = 0;
_ Р'
Ггъ =
Y
Г19 = 0;
Ft = 0;
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed