Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
<рф -
Г& = 0,
р<Р Р
J. ftp р ,
r?? = ctg&,
(57.11)
где штрихом обозначены производные по г.
Заметим, что каждая строчка этой таблицы дает взятые с обрат-
ак dV dV
ным знаком коэффициенты при первых производных
в выражении для второй ковариантной производной от некоторой функции V.
Так как эти выражения нам пригодятся, мы их здесь выпишем:
Кг =
Ка" -
Vvy -
V* =
Vrf =
V^ =
dW
F' dV
dr* dW . F PP' dr ' ак
а"а 1 F* dr
d*V . PP' sin2
af2 1 /-¦2
dP-V ?' ак
drdb P а"
d*V P' ак
drdij P a?
dW i r, d - ctg ft -
dV
dV
(57.12)
С другой стороны, каждый столбец таблицы (57.11) дает коэффициенты при
квадратах и произведениях первых производных в уравнениях
17 Зак. 185. В. А. Фок
258
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
пространственной геодезической линии, которые имеют вид:
'+7^-5*-("9+s in2"^) =о/
ft-f- 2 Ьг - sin 9 cos 9 = 0, (57.13)
<s -f- 2 -¦ qr -j- 2 ctg ft <pft = 0, J
где точка обозначает дифференцирование по длине дуги
dr
dl
и т. д.). Практически скобки Кристоффеля легче всего вычислять не по
общим формулам, а путем составления уравнений геодезической линии
непосредственно из вариационного начала.
При помощи выписанных в таблице (57.11) скобок Кристоффеля составляем
трехмерный тензор кривизны четвертого ранга, а затем по формулам
- трехмерный тензор кривизны второго ранга. Аналогичных формул для не-
диагональных компонент мы не выписываем, так как эти последние
оказываются равными нулю.
Оставляя только члены, отличные от нуля, получаем по общей формуле
(56.13):
Подставляя сюда значения скобок Кристоффеля из (57.11), получим, после
небольшого преобразования,
Вычисление показывает, что величина Rr,v>- имеет то же самое значение
(Rrr)a = /?*. + K,V, (Rn)a = "в,,-"+/??.
(57.14)
(57.15)
(57.16)
(57.17)
поэтому
(57.18)
Далее,
(57.19)
§ 571
СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ
259
откуда
= <57-20>
Продолжая вычисления, получаем
RlM = ^4-r^rL - rSeTSp, (57.21)
откуда
/?*,*" = - 1 +•?. (57.22)
Подставляя (57.20) и (57.22) в (57.14), находим для (R^)a выражение №6)а
= ^ Jr(^)- 1- (57.23)
Аналогичные вычисления дают
(Я<р<р)0 = З'п3 & (R"")a> (57.24;
что и следовало ожидать в силу сферической симметрии. Мы уже упоминали,
что
(Я,")в = 0; (/?")" = 0; (/?в9)в = 0. (57.25)
Инвариант трехмерного тензора кривизны вычисляется по формуле
(Я)а = 7*(Ягг)" + ^ №")" (57.26)
и может быгь представлен в виде
= (57-27)
Найденные формулы позволяют выписать уравнения тяготения Эйнштейна в
раскрытом виде.
Если тензор массы равен нулю, то уравнения тяготения приводятся к виду
(/?Л = °- <57-28)
Вследствие (56.25) пространственные компоненты этого тензора даюг в
статическом случае
V{Rilc)a+Vik = 0. (57.29)
Компонента со значками (0, 0) приводит к уравнению
ДУ = 0. (57.30)
Уравнения для смешанных компонент (со значками 0г) удовлетворяются
тождественно.
17*
260 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЙ [гл. V
Уравнения (57.29) и (57.30) являются тензорными уравнениями в смысле
трехмерного тензорного анализа; каждому из значков I, k мы можем
приписать значение г, 8, <р, как это мы и делали в предыдущих
рассуждениях этого параграфа. При этом уравнения для не-диагональных
компонент (г, 8), {г, <р) и (8, <р) удовлетворятся
тождественно в силу равенств (57.25) и вытекающих из (57.12)
аналогичных равенств
Krft = 0; Kr, = 0; Ve? = 0 (57.31)
для ковариантных производных от функции V, зависящей только
от г. Далее, вследствие равенства (57.24) и вытекающего из (57.12)
аналогичного равенства
К* = а'п9 (57.32)
уравнение для компоненты (<р, <р) совпадает с уравнением для компо-
ненты (8, 8). Таким образом, из шести уравнений (57.29) будут
независимыми следующие два:
V(Rrr)a+Vrr = 0, (57.33)
У (Rn)a - 0- (57.34)
Подставляя в (57.33) выражение для (Rrr)a из (57.18) и выражение для
Vrr из (57.12), получаем:
+ <57.35,
Аналогично, после подстановки (57.23) и (57.12) в (57.34) будем иметь
(57'36)
Наконец, уравнение (57.30) напишется
У* -?Jk' + 2E-V' = 0. (57.37)
Последние три уравнения нетрудно решить. Комбинируя (57.35) и
(57.37), получим
уТг(т)-т-у,^°' <57-38>
откуда
= const. (57.39)
Значение постоянной определяется предельными условиями: на бесконечности
должно быть
р'=1; F- 1; V - с (при г -> оо). (57.40)
§ 57] СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ 261
Отсюда
VF = c{,', (57.41)
цставляя это значение VF в (57.36) и
- ср = const (57.42)
где с - скорость света. Подставляя это значение VF в (57.36) и
интегрируя, получим
РР'У F
и, пользуясь снова соотношением (57.41),
p(l - тг)= const. (57.43)
Значение постоянной интегрирования можно определить из сравнения
с теорией Ньютона. Если М есть значение сосредоточенной массы,
то на больших расстояниях должно быть
V* = cn- - 2U\ U = 1y, (57.44)
причем
Ишу= 1. (57.45)
Отсюда
р • (с2 - V2) = 2f Ж (57.46)
и, следовательно,
V^ - c'2 - ^. (57.47)
Р
До сих пор было использовано только уравнение (57.36) и одна комбинация
[а именно (57.38)] уравнений (57.35) и (57.37). Необходимо еще проверить,
