Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования равенства
^ дф дф _ г-\- а _ J_ / Jty V2 (г - а\ / dii уз
(r) дх" дх, /¦ - a с2 \ д< / \ /" -)- а / \ д/" /
^[(яГ+тпиШ] <58J1>
(Г +
к прямоугольным координатам получаются значения контравариантных
компонент фундаментального тензора. Мы выпишем эти компоненты, умноженные
на У-g. Мы будем иметь
gk=Y-ggik = - Cbik + c^^~, (58.12)
а также
(Г-=7--------¦ <Г = °- (58.13)
Г
Эти формулы позволяют без труда проверить, что наши координаты
действительно гармонические и что
С=°- <58'14)
Зная потенциалы тяготения для поля сосредоточенной массы, мы можем
определить движение частицы в этом поле в предположении, что частица
движется по геодезической линии. Как мы видели в § 51, это предположение
находится в согласии с механикой Ньютона. Более полное обоснование этого
закона движения материальной точки будет дано в § 63 на основе уравнений
тяготения.
Уравнения геодезической линии получаются, как мы знаем, из вариационного
принципа
8 J ds = 0, (58.15)
который может быть написан в виде
8 J Ldt - 0, (58.16)
где функция Лагранжа L в нашем случае равна корню квадратному из
выражения
,2 _.! г-
7+а
L" = с' - (1 -f- -) (х\ -f- XI xl) -
7 (*1*1+*3*2+ (58.17)
266 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ [гл. V
где точки сверху обозначают производные по времени. Таким образом, мы
имеем здесь простую задачу механики материальной точки.
Для решения этой задачи обратим, прежде всего, внимание на тот факт, что
функция Лагранжа обладает сферической симметрией. Это значит, что функция
Лагранжа не меняется при линейной ортогональной подстановке над
величинами xv х2, хй, сопровождаемой
такой же подстановкой над величинами xv х2, х&. Отсюда следует,
как обычно в механике (см. также § 27 этой книги), существование
интегралов площадей в виде
dL dL
Ха-------------X"-----
дХя дх2
dL dl
Хо -:-------------X, -г- - Со,
дхх дх-л
dL dl
X - Ха -Г- = Со
1 дх2 дхг 3
(58.18)
Эго позволяет заключить о том, что траектория частицы лежит в плоскости
СгХг +с2х2 +сйх 3 = 0. (58.19)
Беря эту плоскость за одну из координатных плоскостей, мы можем без
ограничения общности положить
х2 = 0; х3 = 0 (58.20)
и рассматривать плоское движение. Последнее удобнее всего изучать в
полярных координатах, к которым приводятся наши сферические координаты,
если мы положим
" = -|; & = 0. (58.21)
Переписывая квадрат функции Лагранжа в полярных координатах,
будем иметь:
^ ^ ~(г + ^ (58-^)
Функция Лагранжа не зависит ни от времени t, ни от угла <?. Эго сразу
дает нам два интеграла:
- L = const, (58.23)
dr d-t
-^4- = const, (58.24)
d<t
которые соответствуют обычным интегралу энергии и интегралу площадей.
Помня, что
Ldt - db - cdx, (58.25)
§ 58] ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ ПЛАНЕТЫ 267
где * - собственное время, мы можем переписать интегралы (58.23)
и (58.24) в виде
= (58'26>
")2(58-27)
где s и ;х - постоянные. Величина [л, может быть истолкована, как момент
количества движения единицы массы. Если положить
*=1+|г, (58.28)
где Е0-новая постоянная, то из наших формул следует, что в
нерелятивистском приближении будет
= - (58.29)
так что Е0 есть отнесенная к единице массы полная энергия частицы.
Алгебраическим следствием уравнений (58.26) и (58.27) является
соотношение
(58-зо>
Оно выводится подстановкой (58.26) и (58.27) в тождество
Ш Ш - (Ш) Ш1 - ^='*• <58-3"
Предыдущие формулы дают три дифференциальных уравнения первого порядка
для величин г, 0, ср как функций от т. Решение этих уравнений, очевидно,
сводится к квадратурам. Мы не будем выписывать в явной форме
соответствующих интегралов, а ограничимся исследованием траектории
частицы, т. е. зависимости г от ср. Исключая di из (58.27) и (58.30),
получаем
(//*" \2 />2с2 />2
¦щ) =-^-(''4-а)4 - ^2 (r + rj-)6(r - ") - ('• + а){г-а). (58.32)
Справа стоит здесь многочлен четвертой степени от г. Следовательно, ср
выражается через г в виде эллиптического интеграла первого рода и,
обратно, г есть эллиптическая функция от ср. Вещественный период этой
эллиптической функции будет несколько отличен от 2тс; поэтому орбита не
будет замкнутой. Многочлен в правой части (58.32) имеет, кроме очевидного
отрицательного корня г = -а, малый положительный корень
. 8a8c2s2
-п (58.33)
268
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл V
и еще два корня гх и г2. Если а2 < 1, то оба эти корня положительны и мы
будем иметь всегда rt < г < л3 (финитное движение). Если же а2 > 1, то
один из корней (/-t или г,) становится отрицательным; обозначая
остающийся положительный корень через rv мы будем иметь /^ </¦, и орбита
будет уходить на бесконечность. При s2 = 1 будет г.2== оо.
Если ввести вместо г переменную
Оценим в этом выражении порядок величины отдельных членов. Введем, как в
§ 55, характерную скорость q и характерную длину I. Тогда по порядку
величины будет
На основе этих оценок нетрудно видеть, что в правой части (58.35) члены с
нулевой, первой и второй степенью и имеют порядок вели-
величины <74/с* • 1 /Р. Поэтому, пренебрегая лишь весьма малыми
