Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Динамика трещины. Выше было указано, что основным результатом, извлекаемым из расчета трещины, является коэффициент интенсивности напряжений на контуре трещины N(X), так как именно эта функция определяет рост трещины и, в конечном счете, время разрушения конструкции, содержащей трещину. При решении задач динамики трещин использовалась теория, согласно кото-
ляется последовательность Vi (эти величины имеют смысл смещения серединьы'-го ребра в ортогональном к нему направлении). Обозначая точкой (Xi, Yi) середину г'-го ребра контура dG(t), при некотором шаге численного интегрирования т получаем точки ребра dG(t + т) по очевидным формулам
где {п‘х, п'} — вектор единичной нормали к г-му ребру dG(t).
Ограничимся этим общим описанием, в котором опущены многие технические подробности процедуры. Она не так проста, как это может показаться на основании того, что выше изложено. Сложности (и весьма значительные) связаны с характером зависимости v(N).
Например, для пластмасс v(N) » ^V10 -s- N20. Такая резкая зависимость V от N приводит к тому, что погрешности вычисления N, неизбежные и, быть может, не очень существенные для величины N, при вычислении V резко возрастают и описанная выше процедура интегрирования подвержена сильной неустойчивости. Если какая-то точка на одном шаге «вырвалась вперед», она, как было указано вы-
у‘
2
3
f(x,y)=F(y)
рой считается известной функция V(N), имеющая смысл скорости продвижения границы трещины (по направлению нормали к ней) в зависимости от значения N в данной точке контура. Итак, если функцйя N(X) известна, то контур трещины движется со скоростью V(N(%)).
Рис. 59
Расчет динамики контура dG(t) проводится по схеме, напоминающей простейшую схему интегрирования Эйлера. Пусть известен контур на момент времени t. При расчете трещины с данным контуром вычисляются
ЛГ(|), v[|] = у(N(X))• Точнее, вычис-
МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
501
ше, становится точкой локального минимума А^(|); на следующем шаге интегрирования она практически стоит на месте, и т.д. Рисунок 59 дает представление о том, как происходит расчет динамики трещины под воздействием неравномерной нагрузки F. Показана эпюра нагрузки f(x, у) = F(у) и представлена форма трещины для моментов времени 0, 5.14, 6.60, 7.152, 7.215, 7.259, 7.298, 7.330, 7.355, 7.373, 7.391, 7.407 (в последовательности снизу-вверх соответственно).
Одним из средств визуального контроля является проверка симметричности. Решение должно быть симметричным относительно прямой, проходящей через центр трещины (начальный контур — симметричный эллипс). Ho с расчетной точки зрения правая и левая части области, конечно, несимметричны. При столь сильной зависимости V(N) и не такой уж высокой точности расчета N(%) можно было бы опасаться сильного проявления этой расчетной несимметричности. Следы ее видны на рис. 58, но они едва заметны.
§ 31. Метод конечных суперэлементов
Метод конечных элементов в настоящее время прочно вошел в арсенал фундаментальных вычислительных средств. Основная идея метода, его теория и практика применения описаны в многочисленных монографиях. Некоторые сведения о методе приведены в § 3, обсуждается он также в § 30 и в настоящем параграфе, посвященном специальной конструкции, которую можно трактовать как некоторое развитие идей метода конечных элементов. Она ориентирована на очень специфический класс задач, однако в различных приложениях все чаще возникают задачи с подобного рода особенностями. Представление об их характере дает следующая задача.
Задача о трещине гидроразрыва. Эта задача связана с проблемой использования геотермического тепла. Имеется «трещина» — разрыв сплошной среды; считается, что разрыв произошел по некоторой плоской области G. К трещине подводятся две (или больше) скважины, через которые протекает вода. Под действием давления воды трещина раскрывается, приобретает некоторый объем, заполненный водой. Давление на скважинах поддерживается различным, благодаря чему одна из них является нагнетающей, другая — отбирающей. Возникает течение воды в трещине: вода входит через нагнетающую скважину, некоторое время (в течение которого происходит нагрев воды) течет внутри трещины, затем выходит из трещины через отбирающую скважину.
Перейдем к математической формулировке задачи. Задана двумерная область G, в которой ищутся две функции: и(х, у), имеющая сЬшсл раскрытия трещины (см. § 30) и р(х, у), имеющая смысл давления воды. Рассматривается установившееся течение: функции
502
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
не зависят от времени. Скорость однозначно связана с градиентом давления теорией течения вязкой жидкости в узком канале (формула Буссинеска): v(x, у) = ((2и)г/12 (х) grad р, где |л — коэффициент вязкости. Итак, давление (и скорость течения) воды зависят от раскрытия трещины, последнее же зависит от давления. В результате получается следующая связанная система уравнений для мир (см. § 30):
- Ш А И г и(х’’ у’) dx dy' = р(х' у)~ pO'
G
где р0 — заданная величина. Уравнение для р имеет вид
