Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
(Ь/Н2)(ит_1 — 2ит + um+l) — Aum = 0, если используются коэффициенты
D = DalSh a, A = 2(D/H2)a th (а/2), а = VAH2ZD > 1.
Простое усреднение не учитывает большого шага и дает в данном случае тривиальный результат. Кстати (предоставим убедиться в этом читателю), результат гомогенизации на базе точной схемы
§31]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
507
зависит и от вида схемы (например, можно записать член Au в виде (Л/б)(мт_! + 4Um + ит+1)\ тоща будут другие значения D, А. К сожалению, такую схему гомогенизации можно реализовать только в не очёнь-то интересном, одномерном, случае. Однако некоторые высказанные выше соображения можно в какой-то мере использовать и в более реальных двумерных и трехмерных задачах.
Двумерный метод конечных суперэлементов. Имея в виду расчет задачи о трещине гидроразрыва и другие аналогичные задачи, рассмотрим в качестве суперэлемента квадрат ЯхЯ, из которого исключен расположенный в центре круг радиусом г«Н («скважина»). Занумеруем вершины 4о----------------___—оЗ
квадрата так, как показано на рис. 60. Границу J,4
квадрата разделим на четыре части Gj, каждую из которых ассоциируем с соответствующей вер-шиной. Оснастим такой элемент базисом из пяти ~ функций (рДх, у) (/ = 0,1,...,4). Функцию ............—¦-------A2
(P1 (х, у) определим как решение уравнения Лапласа Д(р = 0 при следующих краевых условиях. Рис. 60
Положим в первой вершине элемента (р = 1, в остальных — (р = 0. С вершин на грани элемента значения (р проинтерполиру ем линейно. На внутренней границе х2 + у2 = г2 (на скважине) положим <р = 0.
Аналогичным образом определим базисные функции (р2, (р3, (р4. Что касается (р0, то она определяется решением того же уравнения Лапласа при нулевых значениях на внешней границе квадрата и при значении (р = 1 на границе скважины. Таким базисом оснащается элемент первого типа. Элемент второго типа — обычная однородная ячейка ЯхЯ, в которой подобная процедура построения базиса приводит к элементарным билинейным функциям типа
' <р(х, у) = I-х/Н- у/H + ху/Н2.
Именно таким базисом оснащается элемент (ячейка счетной сетки) в стандартном методе конечных элементов.
Расчетная область покрывается сеткой с шагом Я, в каждую ее ячейку помещается элемент первого или второго типа в зависимости от того, содержится в ней скважина или нет. В узлах сетки ЯхЯ определяется сеточная функция рк т. Внутрь ячейки, содержащей скважину с заданным давлением Р, функция р интерполируется с помощью базиса элемента данного типа:
t I
— O4
— O1 °2—
I
Рис. 60
4
р(х, у) =P ч>0(х, у) + 2 Pi % О. У),
і = 1
(9)
508
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Где Pi — значения рк т, но иначе занумерованные (P1 = Pk т, P2 = Pk+i,m и т.д.). В (9) ради простоты опущен индекс у базисных функций — номер типа суперэлемента, помещенного в данную ячейку. Конечно, эта формула действует лишь внутри ячейки (* + 1/2, т + 1/2), т.е. при х Є (xk, xk+l), у Є (ут, ym+1).
Функция (9) всюду, кроме координатных линий сетки, удовлетворяет уравнению Ap = O, на границах скважин она принимает заданные значения. Здесь мы, конечно, отвлекаемся от того, что вычисление базисных функций осуществляется на специальной неравномерной сетке, шаг которой вблизи скважины существенно меньше г. Кроме того, если требуется решать неоднородное уравнение (2), это делается аналогично одномерному случаю. Для того чтобы функция всюду была гармонической, нужно потребовать условий сшивки на координатных линиях сетки. Такие условия, как известно, состоят из требований непрерывности самой функции (это требование автоматически выполняется конструкцией (9) при любых pk т) и непрерывности нормальных к линиям сетки производных. Последнее требование, разумеется, точно выполнить невозможно, распоряжаясь лишь значениями pk т). Однако можно потребовать выполнения его в некотором «слабом» смысле.
С каждым внутренним узлом сетки (к, т) свяжем специальную область CTjt т, имеющую нулевую площадь. Эта область имеет форму креста к (рис. 61), но каждый его луч имеет две стороны,
обращенные в соседние ячейки. Функцию р(х, у) Рис- 61 вида (9) будем считать приближенным решением,
если для всех внутренних узлов (к, т) выполняется условие равенства нулю потока в области Ck т. Введя обозначения dak т для двусторонней крестообразной линии (границы сik m) и п для направления нормали к dak т, условие равенства потока в Gk т запишем в виде
Ф (Ю)
до, к, т
Можно показать, что такое же условие (10) получается, если проинтегрировать уравнение div D grad р = 0 по квадрату HxH с центром в узле (к, т), исключив из него, разумеется, скважину, если она имеется в какой-то из примыкающих к узлу ячеек.
Уравнение (10) следует превратить в разностное уравнение, связывающее девять значений pk+a m+p, где а, P Є [—1, 1]. Для этого при расчете базисных функций вычислим и сохраним значения потоков через элементарные контуры ст;, показанные на рис. 60:
П1 i = \Dtlkds' i = 0,l,...,4, / = 1,2,...,4.
IV III к.т
