Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Возникает вопрос о точности расчета при приемлемом числе узлов сетки. В самом деле, 1000 узлов на двумерную область — это не так уж много (примерно по 30 узлов на линейный размер области). Уменьшить шаг h для повышения точности здесь не так просто: вы-
494
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
числение суммы в правой части (9) для каждого узла (к, т) «стоит» 0(h~2) операций. Число узлов 0(h~2), да и число итераций можно оценивать как 0(h~l) или, в лучшем случае, 0(h~llz).
Вышеприведенные оценки сделаны по аналогии с хорошо изученным уравнением Лапласа. Там мы имеем дело с оператором второго порядка, для которого обусловленность матрицы конечномерной аппроксимации есть 0(h~2), сходимость простых итераций имеет скорость I — 0(h2) (сверхрелаксация при оптимальном ш доводит коэффициент сходимости до I — 0(h)). Мы же имеем дело с оператором первого порядка, с числом обусловленности матрицы А порядка 0(h~l). Эксперимент подтверждает это предположение.
Итак, «стоимость» приближенного решения есть в лучшем случае 0(h~4 S) операций и она резко возрастает при незначительном уменьшении шага (например, раз в 25 при переходе от Л к Л/2). На БЭСМ-6 расчет трещины с числом узлов порядка 800 стоит около 5 мин машинного времени. Достаточно ли доступного нам числа узлов для получения решения с нужной для приложений точностью? Следует иметь в виду, что требования к точности не очень высоки: погрешность 1 5 % допустима для многих технических приложений. Конечно,
ответ зависит от дифференциальных свойств решения, последние, в свою очередь, — от гладкости правой части и свойств оператора в (1).
В прикладных расчетах /, как правило, — не очень сложная функция. Это понятно. Ведь трещина есть объект малых размеров, находящийся «в глубине» некоторой конструкции. Функция / создается системой внешних нагрузок. «Создать» функцию /, сильно меняющуюся на малом расстоянии, не так-то просто, тем более что никто к этому специально не стремится. Псевдодифференциальный оператор в (1) по своей природе близок к «эллиптическому дифференциальному оператору первого порядка», т.е. при его обращении гладкость решения повышается на один порядок по сравнению с /. Поэтому есть основание ожидать, что искомое решение и(х, у) — достаточно просто устроенная функция.
Действительно, расчеты простых задач (G — эллипс, / = const) с известным точным решением показывают, что и(х, у) есть колоколообразная функция простого вида, и при числе узлов 20 -5- 30 на линейный размер области точность приближенного решения очень высока почти всюду в области G. Исключение составляет узкая (шириной (2 -і- 3) h) полоса узлов, примыкающих к контуру dG. В этой полосе погрешность составляет 10 -J- 30 %, вне ее — погрешность около 1 %; и чем дальше от границы, тем она меньше. Это обстоятельство не случайное, и его можно было бы предвидеть, используя достаточно развитую математическую теорию уравнения
(1). Основной результат, который необходимо учесть при построении численного метода, состоит в следующем. При гладкой правой
§30]
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
495
части / решение и есть непрерывная функция, обращающаяся в нуль на dG, гладкая всюду, кроме окрестности контура SG.
Известен и характер и(х, у) в этой окрестности. Вводя в точках контура локальную систему координат (|, ті), где | — длина дуги на контуре, г] — расстояние от контура по внутренней нормали, имеем для и асимптотику
“(!> 1H) =ті1/2 + 0(ті3/2). (10)
Иными словами, и имеет на контуре корневую особенность. Теперь понятны источники погрешностей численного решения вблизи контура: негладкость самого решения и грубая аппроксимация контура «ступенчатой» линией. Именно такой является граница счетной области Gh, на границе которой решение в форме (6) обращается в нуль.
Казалось бы, можно пренебречь полученной погрешностью: ведь в подавляющем числе узлов точность приближенного решения высока. Однако она высока для величин, особенного интереса для приложений не представляющих. Дело в том, что наиболее важным для приложений является так называемый коэффициент концентрации напряжений на контуре трещины dG — это функция Ar(I), входящая в асимптотику (10). Именно ради определения Af(I) затеваются расчеты, так как этой функцией определяется дальнейшая судьба трещины. Будет ли она расти и с какой скоростью (т.е. представляет ли трещина опасность для конструкции), через какое время ее рост приведет к разрушению тела с трещиной, и т.п.?
Итак, получив численное решение, нужно проанализировать ход изменения ик т вблизи контура и извлечь из него оценку Ar(I). Ясно, что при этом анализе нужно отступить от контура внутрь области на (2 ч- 3)h, однако там (если шаг h не очень мал) уже начинают сказываться величины порядка 0(т)3/2)-. В трещинах простой формы такой анализ давал неплохие результаты. Ho при переходе к трещинам «произвольной» формы ситуация осложняется и требуется уточнение описанной выше расчетной схемы.
Кстати, поясним смысл краевого условия «и = 0 на dG». Если подействовать оператором (1) на функцию и с асимптотикой (10), получим функцию f(x, у), непрерывную в G вплоть до границы. Если же и(х, у) непрерывна в G и не равна нулю на dG, f(x, у) обращается в бесконечность на dG.
