Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
div [и3 grad р] = Q(x, у), (х, у) Є G\Ugr (2)
Здесь Q(x, у) — сток, связанный с фильтрацией воды через стенки трещины. Будем считать Q заданной величиной, хотя в действительности Q определяется решением специального уравнения, в которое входят р и и.
Перейдем к постановке краевых условий. Для и краевые условия обычные (см. § 30): м|ас = 0. Сложнее обстоит дело с р. Уравнение (2) определено не в G, а в GWgi, где g, — площади, занимаемые скважинами. Это круги малого радиуса г, однако на их границах поставлены краевые условия
P = Pi на Bgi (3)
(Pi — заданное давление на i-й скважине). Сложность задачи состоит в том, что скважины имеют размер, малый не только относительно размера трещины, но даже относительно приемлемого шага сетки Н.
В расчетах, которые обсуждаются ниже, трещина имела форму
круга радиусом R = 250 м, шаг сетки И = 17 м, а радиус скважины
/* = 0,1 м. Первая проблема в том, как учесть влияние скважины (а оно определяет всю картину рассчитываемого явления) в расчетной схеме со столь большим шагом. Собственно, ради таких ситуаций и разрабатывается расчетная схема метода конечных суперэлементов (МКСЭ).
В задаче есть еще одна нестандартная деталь — отсутствие явно заданных краевых условий для р на внешней границе dG. Это связано
с тем, что в (2) и3(х, у) играет роль коэффициента диффузии. Ho и(х, у) уменьшается при приближении (х, у) к dG, как корень квадратный от расстояния до OG (см. § 30). Следовательно, и3 стремится к нулю, как расстояние до dG в степени 3/2. Таким образом, уравнение
(2) вырождается на границе. Теорию таких уравнений разрабатывал М. В. Келдыш. Основной его результат состоит в том, что при определенной скорости обращения в нуль коэффициента диффузии в окрест-
§31]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
503
ности границы области классические краевые условия для уравнения
(2) ставиться не могут, их заменяет условие ограниченности решения. Мы имеем дело именно с таким случаем, и численная реализация условия ограниченности потребовала определенных изобретений. Эта особенность вычислительной схемы, однако, к методу конечных суперэлементов отношения не имеет. Итак, сейчас основной вопрос: как учесть влияние.скважины размером г <к Я на сетке H х //?
Метод конечных суперэлементов (одномерный вариант). Начнем с разбора более простой ситуации. Пусть требуется решить одномерное уравнение диффузии
Ж^{о(х)Щ -А(х) и = 0, хЄ[0,Х], (4)
с краевыми условиями, для простоты, первого рода. Интервал [0, X] состоит из M интервалов длиной H: X = MH, где Mzz 20 -*¦ 30, например. На интервале H функции D(x), А(х) имеют достаточно сложное строение. Например, интервал H разбит на какое-то число частей, в каждой из которых DwA имеют постоянные значения. Пусть, наконец, имеется небольшое число типов таких отрезков длиной Н, а вся система длиной X каким-то образом скомпонована из стандартных кусков длиной Я. Эта ситуация моделирует (конечно, упрощенно) некоторые характерные трудности, с которыми сталкиваются при расчете такого важного объекта, как современный энергетический атомный реактор.
Можно ли в таких условиях, когда описание физической структуры области явно требует сетки с шагом h Я, тем не менее построить расчетную схему стандартного типа с шагом Hl Оказывается, можно, хотя это связано с некоторыми затратами.
Рассмотрим стандартный интервал длиной Я, который входит в компоновку всей задачи. Оснастим его двумя базисными функциями, обозначив их ^p1 (jc), <f2(x). Функцию (P1 определим как решение уравнения (4) с краевыми условиями (P1(O) = I, Ip1 (H) = 0. Функцию If2 определим точно так же, но с краевыми условиями <р2(0) = 0, V2(H) = 1. Если быть аккуратным, to эти функции следует отметить еще одним индексом — номером типа той стандартной ячейки длиной Я, для которой они рассчитаны: ^p'(x) (і = 1,2). Говоря о решении (4), мы имеем в виду решение по стандартной схеме с шагом h 1, обеспечивающим нужную точность в обычном смысле сіїова. Такие базисы должны быть рассчитаны для всех типов ячеек, которые могут встретиться в компоновке исходной задачи. Эта конструкция отличается от стандартной конструкции метода конечных элементов только тем, что в методе конечных элементов базис строится из общих, He связанных с решаемой задачей соображений и функции <рг выписываются явно: например, ^p1(X) = 1 — х/Н, ф2(х) ~ х/Н.
504
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. и
Область полного расчета [0, X] покрывается стандартными конечными элементами (в данном случае, отрезками длины И, оснащенными своими базисами). Получается обычная сетка точек хт = тН, в которых определена сеточная функция ит. Теперь мы
имеем процедуру восполнения сеточной функции {ит}^=0 до непрерывной и(х). Это в сущности есть специфическая интерполяция:
и(х) = ит у[(х) + um+i ч><2(х), хЄ[хт,хт+1]. (5)
Здесь t — тип элемента, помещаемого на интервале [хт, хт + 1\.
Заметим, что в силу специального выбора базиса функция и(х) непрерывна и почти всюду, за исключением точек хт, удовлетворяет решаемому уравнению (мы отвлекаемся от погрешностей расчета базиса). Для того чтобы эта функция была решением исходной задачи, нужно обеспечить непрерывность потока в каждом внутреннем узле хт. Соответствующие «балансные соотношения» образуют систему уравнений, имеющую форму обычной трехточечной разностной схемы, решением которой должны быть Um (для того чтобы (5) было просто точным решением).