Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
§30]
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
489
Псевдодифференциальный оператор. Прежде всего отметим, что в (1) оператор А не внесен под знак интеграла не случайно: этому препятствует появление в ядре слишком сильной особенности (типа \/гг, где г = Vx2 + у2). По форме уравнение (1) — интегральное, по математическим свойствам — дифференциальное первого порядка.
Подействуем интегральным оператором (1) на пробную функцию и(х, у) = е{(кх+ту> (считая G полной двумерной плоскостью). Результатом будет функция ^k2 + т2 е‘<-кх+ту\ Именно асимптотика «символа» оператора (I) ‘Як.2 + т2 и определяет его порядок (символ оператора д/дх есть ik, символ д2/дх2 есть — к2, и т.д.). В то же время оператор A J J г~1 не локальный: значение левой части
(1) в точке (х, у) определяется всей функцией и(-) в G, а не ее значениями в сколь угодно малой окрестности (х, у), как в обычных дифференциальных операторах. Ядро интегрального преобразования имеет сильную особенность в точке (х — х, у — у') и быстро убывает при удалении от точки (х, у). Это характерная для «псевдодиф-ференциальных» операторов картина.
Как в прикладных задачах появляются уравнения с псевдодиффе-ренциальными операторами? Типичным источником таких задач является следующий прием. Предположим, что решается простое дифференциальное (как правило, эллиптического типа) уравнение в очень простой области, например уравнение Лапласа Au = 0 в круге. Простота уравнения и области понимаются в том смысле, что для некоторой простой краевой задачи известно эффективное выражение функции Грина Г. Обычно такой краевой задачей является задача Дирихле. Если задано значение и на границе (обозначим его u‘(s), где s — параметр на границе круга), то решение простой краевой задачи выписывается явно:
и(х, у) = ф Г(х, у; s) u*(s) ds. (2)
Ho это не та задача, которая нас интересует. Требуется решить задачу с гораздо более сложными краевыми условиями, например с условиями
a(s) u(x(s), y(s)) + P(S) = V(S)1 {x(s), y(s)} Є dG.
(3>
Для этой задачи явного выражения функции Грина нет. Используем такой прием. Введем u"(s) в качестве неизвестной функции. Выразим решение в «явном виде» через искомую функцию и* по формуле
(2). Подставляя это выражение в краевое условие (3), получаем сингулярное интегральное уравнение относительно и*. Примерно таким способом было получено уравнение (1).
490
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Обобщенное решение. Первый вопрос, который, естественно, возникает (и ответ на него существен при построении численного метода решения (1)): что следует считать решением уравнения (1)? Здесь используется стандартная процедура, введенная Б. Г. Галер-киным с целью приближенного решения некоторых уравнений и превратившаяся в современную теорию обобщенных решений. Умножим (1) на некоторую достаточно гладкую финитную функцию v(x, у) и проинтегрируем полученное выражение по G. Используя гладкость V, «перебросим» на нее часть дифференциального оператора Д = div grad, div* = —grad. В результате получаем некоторое соотношение, которое должно (если и — решение) выполняться для всех пробных функций V.
Конечно, следует еще определить пространство, из которого может выбираться и(х, у). Исследования показали, что с математической точки зрения можно ограничиться классом непрерывных и (х, у), имеющих кусочно-непрерывные в G первые производные. Такой класс приемлем и с механической точки зрения. Обозначая г = V(x — х')2 + (у — у')2, имеем
— ік Hrfx dy v(x’у)div grad 5 S r-1“(x'» у') dx> dy‘ —
G G
~ in И ^grad v) (*’y)dx dy grad И r~1 u^x''у')dx'dy'' ^
G G
Внося оператор grad под внутренний интеграл, получаем векторное ядро
{ T1 (X - у-у'), Г 2 (х - X',у - у')} = { (г-*)х, (г-*)у}
с допустимой (при оговоренных свойствах и) особенностью. Разумеется, мы использовали финитность в G функции v, опустив «краевые члены». В результате преобразований выражение (4) принимает вид
2^ И И у) Г^x - х'>у- У') + vy(x> У) гг(х ~ х'> У-У')) х
G G
X и(х', у') dx dy dx' dy.
Мы получили некоторую билинейную форму от и, V (обозначим ее l(u, v)). Вместе с тем та же операция интегрирования, примененная к правой части (1), даст скалярное произведение функций / и v.
Итак, вместо «псевдодифференциального» уравнения (1) мы имеем обычное в современной теории соотношение, определяющее обобщенное решение:
l(u, v) = (/, v), Vv. (5)
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
491
Вышеприведенные выкладки были проделаны потому, что именно соотношение (5) используется при «дискретизации» задачи.
Метод конечных элементов. Эффективный метод приближенного решения уравнений типа (1) разработан механиками на основе метода конечных элементов. Его применение в данных задачах требует некоторых предосторожностей. Введем в плоскости (х, у) квадратную сетку с шагом h. Пометим узлы этой сетки парой индексов (к, т), их геометрические координаты Xk = kh, Ут — m^1' Определим в узлах искомую сеточную функцию Uk т. С каждым узлом свяжем элементарную область шк т, состоящую из четырех примыкающих к узлу ячеек h х h, и определенную на шк т базисную функцию Vkt т(х, у). Эта функция равна единице в центре Wjk т, нулю — на ее границе. Внутрь шк т функция Vk т продолжается билинейной интерполяцией, т.е., например, обозначая |=(х — xk)/h, г\ = (у — ym)/h, в правой верхней ячейке Л X Л, имеем выражение
