Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
11
§31]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
509
Напомним смысл индексов: t — номер типа ячейки, і — номер базисной функции (z-я функция соответствует г-й вершине, в которой г'-я функция равна единице), j — номер участка границы. Если коэффициент диффузии в ячейке постоянен (или очень мало меняется, т.е. в расчетной схеме полагается постоянным), то потоки вычисляются для решений уравнения Дф = 0 и затем умножаются на D. Еслй D в ячейке имеет сложный характер, базисная функция ищется решением уравнения div D grad ip = 0.
Теперь для представления явного вида разностной схемы нужно рассмотреть все точки (к + а, т + |3), каждая из которых дает свой вклад в интеграл (10). Выпишем соответствующую формулу, полагая, что читатель без труда поймет принцип ее образования:
Рк-1, т-1^1, 3 + Pk, т-1^2,3 ^,4) Рк + 1, т-1 Щ.4 +
+ Pk-1, m(^4,3 ^l1 2) + Pk +1, т(П|,4 + ^2, l) +
+ Pk, т (Пі, з + П42 4 + П{, + П< 2) + Pk^ т+1 П< 2 +
+ Pk, т+1 (Щ,г + щ,,) + Pk, 1, „+1 Щ,, + P1 п‘(з = 0, (11)
где верхние индексы у П есть номера типов суперэлементов, помещенных в ячейки, примыкающие к узлу (Л, т). В (11) мы ограничились случаем, когда только в ячейке 1 имеется скважина с заданным на ней давлением Pi.
Если попытаться сформулировать класс задач, в которых методы расчета с «большим шагом» окажутся достаточно эффективными, то, видимо, следует принять важное предположение: на координатных линиях сетки с шагом H искомая функция хорошо аппроксимируется с помощью линейной интерполяции. Успех вероятен в том случае, когда дифференциальные свойства искомой функции р(х, у) и ее ограничения на координатные линии //-сетки существенно различны. Для функции, рассматриваемой во всей двумерной области, шаг H очень велик, ограничение ее на H-сетку пропускает существенные детали (в данном случае, сильные деформации решения в малой окрестности скважины). Ho функция, рассматриваемая лишь на координатных линиях, может быть достаточно гладкой, и значения ее в узлах (к, т) дают весьма полное представление о поведении функции на линиях сетки, но не во всей плоскости.
Метод конечных суперэлементов второго порядка. Описанную выше конструкцию естественно называть схемой «первого порядка», учитывая линейность базиса на линиях сетки. Можно уточнить ее, построив в том же духе схему «второго порядка», с квадратичным базисом. В этом случае вводятся еще четыре счетные точки — в серединах сторон ячейки (рис. 62). Теперь уже будет во-
510
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
семь базисных функций, которые определяются специальным выбором значений ip на внешней границе ячейки, а внутрь продолжаются, так же как и раньше, решением уравнения Лапласа с учетом условий на скважине (если она есть). Краевые условия, например для (P1 и (р2, формулируются так (% = х/Н, г) = у/Н):
(рДх, 0) = 1 — 3| + 2|2, «рДО, у) = 1 — Зг] + 2г]2,
Vp1 = 0 на остальных гранях,
(р2(JCj 0) = 4|(1 — %), >р2 = 0 на остальных гранях.
На рис. 62 показаны граничные значения (P1 и <р6. С каждой счетной точкой на границе ячейки нужно связать свою часть ее контура ст(. Теперь, кроме «целых» точек (к, т), появляются «пол у целые» точки (к, т + 1/2), (к + 1/2, т) и соответствующие двусторонние контуры Ok т, стА + 1/2 т, CTjt т+1/2 (рис. 63). Опыт применения схемы второго порядка показал заметное повышение точности расчета. Ho это связано и с заметным возрастанием сложности схемы: в целой точке она 21-точечная, в полуцелой — 13-точечная. При Рис. 63 выборе элементарных контуров а и двусторонних
контуров CTjtm,..., как показал опыт, следует придерживаться естественного правила: контуры CTjt т, стА+1/2 т, CTjt т+1/2 не должны перекрываться и должны покрывать все координатные линии сетки (не допуская «пустот»).
Заметим, наконец, что, кроме функционалов, используемых при составлении разностной схемы, часто возникает необходимость при подготовке исходной информации вычислить и сохранить некоторые дополнительные функционалы, необходимые для содержательной интерпретации полученнотр сеточного решения. В задаче о трещине гидроразрыва таким функционалом является поток в скважину:
Имея такие функционалы, поток в скважину на полученном решении можно вычислить по очевидной формуле
^k +1/2, m + 1/2 {Pk, т ^l1 0 Pk +1, т ^2, 0
+ Pk +1, т+1 П3, о + Pk, га+1 ^4, о + Р ^O1 оЬ
где P— давление на скважине в ячейке (к + 1/2, т + 1/2) Djt+ 1/2, т + 1/2 — коэффициент ДнффуЗИИ В НЄЙ.
§31]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
511
Решение вырожденного уравнения диффузии. Вернемся к уравнению (2) для давления, причем и(х, у) считается известной функцией. Реально эта функция известна в узлах сетки, т.е. в виде сеточной функции ик т, полученной как «грубое решение» (см. § 30) при расчете раскрытия трещины. Кроме того, известно, что около внешней границы и представляется в виде
и(%, Г]) = N(%) Vrf + 0(ї]3/2), (!2)
где I — длина дуги на dG, г] — расстояние от dG по нормали. При столь сильном вырождении уравнения (2) «краевое условие» на dG ставится в очень неопределенной форме — в виде требования ограниченности решения. Этим «условием» надо замкнуть систему разностных уравнений. Ниже в общих чертах мы опишем численную реализацию такого замыкания.
