Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с некоторых терминов. Пусть контур dG задан, как и в § 30, набором точек {Xi, У;}, соединяемых отрезками прямых. Плоскость (х, у) покрыта сеткой узлов (к, т). Точ- о а-узлы • д-узлы ки, попавшие внутрь G, называются счетными.
В них определена сеточная функция рк> т (и рис. 64
ик т, используемая для вычисления коэффициента диффузий, который полагался постоянным в пределах ячейки; эта постоянная величина вычислялась усреднением и по четырем вершинам ячейки). Разделим счетные узлы на два типа (рис. 64). Узлы e-типа («внутренние») — это узлы (к, т), у которых все восемь соседних узлов являются счетными. В этих узлах используется стандартная разностная аппроксимация на 9-точечном шаблоне. Остальные счетные узлы суть узлы 3-типа («дефектные»). В этих узлах неприменимо стандартное разностное уравнение и нет привычного краевого условия, с помощью которого в невырожденных задачах записываются разностные уравнения в узлах рис. 65
3-типа.
Для того чтобы разобраться в том, как следует поступать в таком случае, рассмотрим решение в окрестности границы, вводя местную систему координат (рис. 65). В этих переменных уравнение можно записать в форме
+ - (13)
Здесь мы используем только главные члены асимптотики (12), при этом Q можно считать постоянной величиной. Преобразуем
512
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
выражение (13) к виду:
tI3'2 0 + I % + ^ ф = Q + -
Считая величину т)3/2 д2р/д%2 пренебрежимо малой по сравнению с остальными, рассмотрим асимптотическое уравнение
ri3/2^ + |T,1/2f =<? = -%
1 at]2 2 aiI Af3
Оно легко интегрируется. Его общее решение есть
P(Ti) = C1 +2CV,-1'2+ 2(71',1'2,
где C0, C1 — произвольные постоянные.
Очевидно, ограниченное решение можно получить только при C0 = 0. (Именно это сокращение числа произвольных постоянных в общем решении уравнения второго порядка и является причиной того, Что нельзя ставить классическое краевое условие при т) = 0, т.е. на границе области G.) Итак, мы получили асимптотику решения около границы:
p(%, T]) = C(I) + 2q(\)r\U2 + о(г\112). (14)
Подставляя в (13) такое решение (предположим, что С(|), <?(!) — гладкие функции), можно оценить отброшенные выше члены и оправдать эти действия. В формуле (14) функция С(|), конечно, неизвестна, она определяется некоторой процедурой «сшивки» с решением внутри области.
Алгоритмическая реализация асимптотики состоит в следующем. Рассмотрим некоторую точку 3-типа (точка d на рис. 65). Пусть (Xi, Yi) — ближайшая к ней вершина границы. Через вершины с номерами і — 1, і, і + 1 проведем окружность, которую будем считать участком границы dG. Через точку 3-типа проведем нормаль к dG, пересекающую вертикальные и горизонтальные границы ячеек или их диагонали. Среди этих отрезков выберем ближайший к точке 3-типа, такой, что оба его конца суть точки e-типа (на рис. 65 они обозначены аир). Пересечение нормали с отрезком обозначим буквой s.
Значение р в точке s можно проинтерполировать по значениям в точках а и р:
Ps = ^pa + (I - w) Рр, w Є [0, 1].
Используя асимптотику (14) запишем соотношения для pd, ps:
Pd = CjTlqVrsd, ps = С + 2qVr^.
Исключая из них С, получаем связь
Pd=iwPa+ (1 ~w) /?+ ^ (^-1^)- (15-)
§31]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
513
Формулу (15) в итерационном процессе решения системы разностных уравнений можно использовать двумя способами. Первый способ состоит в следующем. Пусть получено некоторое приближение р во внутренних узлах e-типа. Используя (15), доопределим его в точках 3-типа. Таким образом, значения рк т известны во всех счетных точках. Теперь по стандартной формуле простейшего метода релаксации новые значения рк т можно получить-во всех внутренних точках. Далее процесс повторяется.
Уточним некоторые детали. Представим разностную схему в форме
і і
I 2 C^jm pk+i m+j +Ck^m = 0. (16)
, = -1 у = -1
Метод релаксации с ускорением состоит в следующем. В каждой внутренней точке (к, т) поочередно пересчитывается значение
і
Pt.» = - (с*,» + Г ск/т Pk+i, m+j) /Cl °т (17)
(,7 = -1
(звездочка отмечает пропуск слагаемого i = / = 0). Это предварительное значение.
Окончательное значение есть
+ (18)
где параметр со, ускоряющий сходимость, подбирается экспериментально. Теория уравнения Лапласа с постоянными коэффициентами указывает диапазон оптимального значения: са « 1.7 1.8. Найден-
ное по (18) значение рк т сразу записывается в массив р, так что формула (18) является «полунеявной»: часть входящих в сумму
значений pk+i m+j относится к v-й итерации, часть — к (v + 1)-й.
Вычислительный эксперимент показал слабую расходимость этого итерационного процесса.
Второй способ состоит в том, что связь (15) заранее вносится в разностные уравнения. Если точка 3-типа d входит в шаблон в точке (Л, т), причем соответствующие точки аир тоже входят в этот шаблон, то точка 3-типа исключается из схемы. Выражение (15) подставляется в (16), пересчитываются коэффициенты схемы, соответствующие точкам аир, коэффициент, соответствующий точке d, делается нулевым. Далее итерационный процесс выполняется точно так же, как было описано выше, но значения в точках 3-типа в расчете фактически не участвуют. После выполнения итерации формула (15) используется для расчета значений р в точках 3-типа. Редко, но все же встречаются ситуации, когда хотя бы одна из точек а и р не входит в шаблон в точке (Л, т). Тогда операция исключения дефектной точки из схемы не производится и работает первый способ учета асимптотики (15).
