Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Следующий шаг — перемена порядка операций взятия минимума и максимума. Определим функционал F от двух аргументов:
F[u(-), p(-)J s { і Ilwll2 + (р, w) - аи} dx dy. (13)
G
Итак, надо использовать преобразование
min max F[w(-), P(O) = max m^n ^[м(')> />(')]• О4)
и() р() Р(-) и()
В общем случае min max > max min. Перестановочность этих операций возможна только при специальных свойствах F[u, р\. В.нашем случае F, очевидно, линеен по р и выпукл (вниз) по и. Этих свойств достаточно для справедливости (14).
Теперь определим функционал
Ф[/>(-)] s min F[u{-), р(-)).
«(•)
В терминах Ф исходная задача сводится к задаче
тахФ{р(-)],
р(-)
где Ф, однако, определен не явным выражением, а каким-то алгоритмом решения «внутренней» задачи на min по и(-). Так как в дальнейшем предполагается искать max Ф методом подъема по градиенту, то нужно уметь вычислять не только Ф[р(-)]> но и его градиент.
Начнем с вычисления Ф[р( •) ]. Если в (14) убрать max по р (считая р(х, у) заданной функцией), то минимизация функционала по
§29]
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
487
и(-) есть достаточно хорошо изученная вариационная задача, обобщающая задачу Дирихле. Ее решение сводится к решению относительно простого уравнения (уравнения Эйлера для вариационной формулировки)
Au + div р + а = 0, и |зс = 0. (15)
Это уравнение Получается стандартным способом. Подставляя в (13) вместо и возмущенное и + Ьи, разлагая подынтегральное выражение в ряд по Su (отбрасываем члены второго порядка), интегрируя по частям (учитываем, конечно, что Su = O на SG), получаем для первой вариации функционала выражение:
6F[u(-), 5u(-)] = — J J (Au + div р + а) Ьи dx dy,
т.е. левая часть (15) есть производная Фреше для /’[и(-)] в точке и(-). Уравнение (15) так или иначе решается, и для вычисления Ф[р(•)] имеется эффективный алгоритм.
Перейдем к вычислению производной Ф. Проварьируем задачу, обозначив
м(•,/>(•))= arg min F[u(-), />(¦)].
,«(•)
Тогда можно написать «явное» выражение:
Ф[р(-)] = F[u(-, />(•)), />(•)].
Дифференцируя его, получаем
ЭФ [р(->] SF duj-,pi-)) , dF dpi-) Эui-) dpi-) dpi-У
Здесь нас выручает то обстоятельство, что
dF[ui-), р( )] л ґ / \\
— диГУ =0 в точке «(•. К'))-
Поэтому сложный и практически трудно вычисляемый объект — производная и(-, />(•)) по р(-) — нам не нужен.
Что же касается производной от F[u(-), /}(•)] по р(-) в точке
и(' > РІ')), то здесь вычисления очень просты. В самом деле, варьируя
аргумент р в определении (13) функционала F\u( •), />(•)]> получаем очевидное выражение
р(-) + M')] = р] + И + 6/,2 иу) dxdy,
G
означающее, что функциональные производные F по р( ¦) суть
dFJu(-), p(-)l , V dF_ , ч
dp^x,y) ихУх’У)’ а P2 иуКх’У)-
Теперь мы имеем все, чтобы описать алгоритм решения задачи.
488
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
0. Пусть имеется некоторое приближение р(•).
1. При фиксированном р(х, у) решается задача (15), находится и(х, у), вычисляются производные их(X, у), Uy(x, у).
2. Нахойится значение Ф[р()1 = F[u(-), />(•)].
3. Делается шаг по двойственным переменным:
Plix, у) = Piix, у) + S их(х, у), P2 = P2 + S иу(х, у).
Вектор р(х, у) проецируется на единичную сферу. Процесс повторяется до стабилизации двойственных переменных. Здесь S — шаг подъема по градиенту. Его выбор существенно влияет на успех всей процедуры.
Вышеприведенный алгоритм естественно трактовать как решение задачи max Ф[/?( •) ] по р. При этом необходимо контролировать ход вычислений, следя за эволюцией значения Ф при изменении р. В работах Ж. Лионса и сотрудников разработаны некоторые рекомендации по назначению шага S. Возможно и автоматическое регулирование S, опирающееся на сопоставление фактического приращения функционала АФ = Ф[р + 6р] — Ф[р] с его первой вариацией 6Ф = Фр Ьр. Опыт показал, что этот алгоритм быстро вырабатывает достаточно эффективное значение шага S.
§ 30. Псевдодифференциальные уравнения
Познакомимся с методами приближенного решения специфических задач, возникающих в линейной теории трещин. Начнем с постановки характерной математической задачи. В заданной области G ищется функция и(х, у), удовлетворяющая интегральному уравнению
-іди („)SC. (I)
С
Здесь А — оператор Лапласа по переменным х, у; функция / — заданная сила. Поясним механический смысл задачи: G — плоская область разрыва в сплошной трехмерной среде; и{х, у) — «нормальный отрыв», т.е. смещение верхней границы трещины в направлении, ортогональном ее плоскости (нижняя смещается на —и(х, у)).
Заметим, что за пределами задачи остались такие важные вопросы, как определение самой плоской области G, по которой происходит разрыв вещества, определение тангенциальных к поверхности трещины смещений ее границ. Эти задачи в линейной теории решаются независимо от определения нормального отрыва. В частности, определение тангенциального смещения приводит к уравнению типа (1). При его решении возникают те же проблемы и применяются те же методы, но в более сложной форме, так как и становится двумерной вектор-функцией, а А заменяется на дифференциальный матричный оператор. Ограничимся этими разъяснениями и перейдем к чисто математическим вопросам.
