Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Задача Бингама. В заданной двумерной области G ищется функция и*(х, у), минимизирующая функционал
F[u(-,-)] зз {j (и2х + up -+ Vu2 + и2 - aw} dx dy, u\ac = 0.
G , (3)
Физически u(x, у) есть продольная скорость движения в трубе сечением G так называемого вязкопластичного вещества, т.е. вещества, подчиняющегося обычному закону Ньютона (ускорение "пропорционально силе), только если сила превосходит некоторый порог. Поэтому в этом случае говорят о стационарном движении неньютоновской среды. Такую среду образуют, например, пульпа, колбасный фарш, некоторые виды ракетного топлива и т.п. Параметр а связан с перепадом давления, G — область не очень сложной формы (круг, прямоугольник).
Что же можно сказать о дифференцируемости функционала (3)? Он недифференцируем в смысле Фреше в том случае, когда функция и(х, у) тождественно равна постоянной в некоторой области g Є G, имеющей ненулевую плоскую меру. Это, к сожалению, типичная си-
§29]
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
473
туация. Некоторые части среды образуют как бы твердое тело: и(х, у) = const, Ux = иу = 0 при (лг, у) Є g. Если область g находится внутри G, ее называют «ядром» течения. Если она примыкает к границе G, ее называют «зоной застоя», так как в этой зоне и — 0 (зоны застоя часто образуются вблизи угловых точек, если G — прямоугольник). Наличие таких областей — характерное явление, если перепад давления а не очень велик. При достаточно большом а таких областей нет, при достаточно малом а все сечение G образует зону застоя и «жидкость» не движется. Функционал (3) называют функционалом Бингама, а описываемую им среду — средой Бингама.
Задача Ильюшина. Эта задача связана с течением той же самой вязкопластичной среды, только речь идет не о продольном ее движении, а о «вращении» в сечении G. Оно описывается функцией тока и(х, у) (через которую скорость движения в плоскости сечения выражается известными формулами {— иу, их}).
Рассматриваются функции и, удовлетворяющие краевому условию «прилипания» к границе: и = О, ди/дп = 0 на SG. Вводится
квадратичная форма 1(х, у) — (ихх — иуу)2 -I- Au2xy и ставится задача минимизации функционала:
р[и( -,')] = $ $ { I Hx, У) + V/(x, у) + Rxux} dx dy. (4) а
(Этот функционал называют функционалом Ильюшина.) Здесь характерными являются течения, в которых образуются «ядра течения» — области g Є G, в которых 1(х, у) = 0. Очевидно, в этом случае иху = 0, ихх = иуу. Это, как нетрудно проверить, означает, что в g среда вращается, как твердое тело вокруг некоторого центра.
Дифференцируемость функционала (4) по направлениям подробно проверять не будем, ограничившись указанием на основной фактор такого анализа на примере функционала Бингама. Пусть точка и(-,¦) содержит ядро, т.е. в некоторой точке (х, у) Є G значения их = Uy = 0. Пусть и возмущается на tv, причем v(x, у) — дифференцируемая функция. Тогда подынтегральное выражение в (3) обычным образом разлагается в ряд по є:
0.5{(u2 + и2) + 2 t(uxvx + uyvy) + 0(є2)} +
+ {(ul + и2) + 2t(uxvx + uyvy) + e2(vl + vy)}l/2 — au — atv =
= 0(e2) -f- I є I {v2 + v2}l/2 — au — atv. Таким образом, главный член приращения интегранта в этой точке есть I е| Vv2 + V2 — atv. Однако дальнейшие, стандартные в вариационном исчислении выкладки (интегрирование по частям), имеющие целью избавиться от производных V и получить выраже-
474
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
ние в терминах только и, здесь принципиально невыполнимы. Это обстоятельство имеет весьма важное следствие, существенно осложняющее создание алгоритмов приближенного решения: необходимое условие оптимальности в этих задачах имеет принципиально нелокальный характер.
Имеется в виду следующее. Если взять классическую задачу с функционалом Дирихле (2), то функцию и(х, у), подозреваемую в том, что она й есть точка минимума, можно проверить в каждой точке (х, у) отдельно: надо вычислить в этой точке Au. Если эта величина всюду равна нулю, все в порядке, если хотя бы в одной точке Au О, это не решение. В такой точке и(-,¦) значение функционала можно понизить. Это прямо вытекает из того, что вариация функционала Дирихле после интегрирования по частям преобразуется к виду
F[u( •, ¦) + 6и( ¦, •)] = FM *.•¦)]- J $ Aubudxdy + 0(Itdull2).
Итак, если в какой-то точке (х, у) (а по непрерывности — ив ее окрестности) Au > 0, то можно взять в качестве ди(х, у) гладкую финитную функцию, положительную там, где Ди > 0, и равную нулю в остальной части G. Для такого возмущения 6F < 0. Если функционал нельзя улучшить финитными возмущениями ТОЧКИ U(•,•)> то она является экстремумом. Это и имеется в виду, когда говорится, что необходимое условие в классической вариационной задаче имеет локальный характер.
Иное дело в неклассической задаче, хотя бы в задаче Бингама. Здесь необходимо испытывать функцию и(х, у), подозреваемую в качестве экстремальной, специальными нелокальными возмущениями. Пусть, например, исследуется функция и(х, у), содержащая ядро течения в форме круга радиусом р, в котором и(х, >') = const. В остальной части G (где и2 + и2 ^ 0) выполнено стандартное локальное условие экстремума, которое имеет форму дифференциального уравнения (уравнения Эйлера):
