Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 21 дает представление о том, как протекал процесс минимизации. В ней представлены: номер шага v (звездочкой отмечены неудачные итерации с AF > 0), F, 6F, AF и шаг спуска S. Видно, что неудачные шаги сравнительно редки. Обратим внимание на то, что величина 6F (в принципе пропорциональная 5||?>||2) убывает намного быстрее, чем S. Это связано с убыванием производной D, т.е. с приближением к минимуму. Возникает вопрос: насколько рациональна вырабатывающаяся в ходе расчета величина 5? Свидетельством в пользу этого алгоритма служит хорошо видный из таблицы факт: обычно резкое уменьшение шага S сопровождается ростом фактического убывания функционала AF.
Экспериментальные попытки волевым образом увеличить S не приводили к успеху: возникала ситуация AF > 0, шаг последовательно дробился несколько раз подряд и приходил к старому значению. Вышеприведенный расчет носил методический характер, поэтому число итераций относительно велико (впрочем, размерность конечномерного пространства, в котором решалась дискретная задача на минимум, здесь была около 1500). Видно, что после 15-й итерации расчет практически «стоит на месте» и продолжение его бесполезно. Каковы же полученные при этом результаты?
Анализ показал, что почти всюду в области G (это был эллипс) значение функции I = |/||s|| — (т, s) | было очень мало. Более точно это означает следующее. В начальном приближении среднее значение Icp % 2 максимальное значение /макс % 5. В конце расчета (при F «0.18 в большей части области для /« 0.0002 ¦+¦ 0.002)
482
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
/ 0.027, /макс = 2.2. Имеется небольшая подобласть в G, в кото-
рой значение функции 1(х, у) достаточно велико, причем вместо требуемой в точном решении коллинеарности т и s наблюдалась почти антиколлинеарность этих векторов. В этот момент G0 занима-
Таблица 21
V F -6 F -Д F S
0 13.83 10.8 8.8 22
1 4.83 6.0 1.36 27
2 3.46 4.2 1.69 22
3’ 1.772 3.6 -0.46 22
3 1.772 1.8 0.78 11
4 0.988 1.1 0.13 11
5* 0.864 1.3 -0.002 8.6
5 0.864 0.67 0.39 4.3
6 0.477 0.35 0.064 4.3
7* 0.413 0.43 -0.018 3.5
7 0.413 0.22 0.11 1.7
8 0.307 0.11 0.039 1.7
9* 0.268 0.15 -0.025 1.7
9 0.268 0.075 0.026 0.86
10 0.241 0.058 0.004 0.86
11 0.237 0.072 0.008 0.69
12 0.229 0.052 0.016 0.55
13* 0.212 0.045 -0.0014 0.55
13 0.212 0.023 0.011 0.28
14 0.202 0.013 0.005 0.28
15*. 0.197 0.017 -0.001 0.28
15 0.197 0.009 0.004 0.14
16 0.193 0.0056 0.002 0.14
17 0.191 0.0064 0.001 0.14
21 0.186 0.0029 0.0006 0.07
25 0.184 0.0017 0.0005 0.036
29 0.182 0.0009 0.0002 0.029
33 0.181 0.0005 0.0002 0.023
ла значительную часть G и никакие ухищрения в рамках описанной выше методики не приводили к улучшению решения. (Впрочем, как показали дальнейшие расчеты, для грубых выводов часто бывает достаточно и полученного таким образом решения.)
§ 29] ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ 483
Для того чтобы получить более аккуратные и достоверные результаты, пришлось существенно усложнить метод.
Метод линейного программирования. Этот сложный алгоритм мы опишем в самых общих чертах. Он основан на некоторой аппроксимации приращения недифференцируемого слагаемого Fa более простым, но тоже недифференцируемым. Используется возможность аппроксимировать круговой конус, как поверхность в трехмерном пространстве {?, т), VS2 4- Tj2}, шестигранным конусом (?, т|, Ф(|, Ti)}, где Ф(?, Ti) определяется решением следующей задачи линейного программирования:
Ф(\, Ti) = 0.54 min (а' + а" + р' + Р" + 7' + V") при условиях
(а' - a")/VT + (2/V3XP' - p'') = - (P' - р") + (7' - 7") = Tb
(а' - а") + (P' - P'') + (у' - У") = 0, a', a", P', р", 7', у" » 0.
He будем доказывать этого. Читатель, желающий понять, в чем тут дело, пусть начнет с вопроса о том, почему ||| = min (a' + а") при a' - a''= J=, а'3*0, а” 3*0.
Используем введенную аппроксимацию конуса. Введем, кроме 6т (х, у), новые вспомогательные переменные а'(х, у), ..., у"(х, у), (х, у) Є Gc. В терминах этих переменных задача выбора направления спуска для недифференцируемого функционала ставится следующим образом. Требуется найти Ьх(х, у), а'(х, у), ..., 7''(*> у), обеспечивающие
min { J J (D(x, у), 6т(х, у)) dx dy + с
+ 0.54 J J f(x, у) {а'(х, у) + а"(х, у) + ... + у"(х, у)} dx dy) с
с
при условиях
У) - f J (М* — х', У— у'), 6т(х, у)) dx dy —
- {(a' - a")/VT + (2/V3)(P' - P") W = О,
S2(x'> у') - $ $(й2(х -x',y- у'), 6т(х, у)) dx dy +
+ {(Р'-Р'')-(7'-7")}х,у, = 0,. {(a' - a") + (P' - P") + (7' - /')}„.,, = О, V (xr, у') Є Gt. Здесь A1, b2 — первая и вторая строки матрицы В, {а}х у = а(х, у).
484
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Выше были опущены некоторые несложные технические детали, обеспечивающие условия ||т(х, у) + &Т(Х, у)|| s* f(x, у). Все это превращается в конечномерную задачу линейного программирования, матрица которой схематически изображена на рис. 54. Поясним ее: N есть число узлов в области G (в расчете 800), N0 — число узлов в Gt (на разных этапах расчета JV0 ^ 300 -ь 600), bj j — элементы матрицы В, рассматриваемые здесь как четырех-
