Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
17 — 1833
498
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
(Ч. II
Перейдем к так называемым «внутренним» средствам контроля. Это рчень важный элемент контроля, постоянно используемый не только при создании новой методики, HO и при проведении серийных производственных расчетов.
1, Один из таких способов контроля — расчеты на разных сетках. Хотя возможности менять сетку, как было уже объяснено, в данном случае весьма ограничены, небольшое число контрольных расчетов с уменьшенным вдвое шагом было все же проведено.
2; При решении вспомогательных задач на каждом ребре размещается до 10 узлов Af-сетки, т.е. можно говорить о функции Ar(I)1 представленной на сетке, содержащей более 500 узлов. На каждом ребре Ar(I) вычисляется по своей сетке (эти сетки между собой не согласованы), и при наличии грубых погрешностей в вычислении
ной и той же задачи, в которой область G имела форму «банана». Два графика отвечают разному числу ребер полигона, аппроксимирующего контур (в расчете I их больше, чем в расчете II). Видно, что участки N(X), соответствующие разным ребрам, хорошо согласуются между собой, хотя заметны и небольшие разрывы. Следует учесть, что в этих расчетах начало отсчета параметра | оказалось в разных точках контура.
Обратим внимание на то, что участки, соответствующие разным ребрам контура, имеют форму выпуклых вверх или вниз дуг с достаточно большим перепадом, который, однако, существенно уменьшается при расчете с более короткими ребрами. Это не случайный эффект. Дело в том, что функция N(X) очень чувствительна к кривизне контура. Угловые точки контура с внутренним углом, большим л, являются точками локального максимума N(X)- Если этот угол меньше Jt (угол «выступает» из области), такая точка является точкой локального минимума. Грубо говоря, значение N(X) тем больше, чем больше около граничной точки X области трещины (и наоборот). Таким образом, «волнистый» вид N(X) есть счетный эффект, связанный с аппроксимацией контура кусочно-линейной кривой. Величина этих паразитических колебаний уменьшается при более точной аппроксимации гладкого контура «полигоном».
N функция N(X) на полном контуре мо&ет «распасться» на несогласованные друг с другом куски (соответствующие разным ребрам). Таким образом, одно из средств контроля — просто визуальный анализ
0 2 4 6
J10 I- функции N(X) на контуре.
На рис. 57 показаны графики функций NlCi) и N11(X), полученные при решении од-
Рис. 57
§30]
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ
499
3. Еще один способ контроля — проверка некоторых асимптотик. Известно, что при постоянной силе / в области, имеющей форму бесконечного угла с раствором (3, решение имеет вид (в цилиндрических координатах Г, ip)
и(г, (р) = f(lр)
?
/
' >—
/
'
/ /
,
* (
У ' W
P-60°
(3 = 120°
Рис. 58
Функция v(p) известна. Приведенное выражение является асимптотикой решения около угловой точки контура. Для проверки точности метода проводились расчеты трещин, контуры которых содержали угловые точки с внутренним углом 60°, 90°,
120°. Расчетные данные подвергались анализу с целью проверки асимптотики. Проверка производилась с использованием даяных, полученных на уточняющей сетке, соответствующей одному из ребер контура, примыкающих к угловой точке.
Рисунок 58 показывает характер такой сетки для внутренних углов 60° и 120°. Одно ребро, примыкающее к угловой точке, проходит по координатной линии
вспомогательной сет- Таблица 23
ки, второе ребро аппроксимируется ступенчатой линией. Выбиралось несколько лучей, исходящих из угловых точек (два для угла 60°, три для углов 90°,
120°). Эти лучи проходят по узлам сетки, и в них вычислялись значения и JпУ (п — номер точки на луче). Согласно асимптотике значения должны быть почти постоянными на луче, что видно из табл. 23. Для угла 60° приведены два варианта расчета (они построены по двум вспомогательным сеткам, примыкающим к углу, но значения в них соответствуют геометрически одинаковым точкам). Из табл. 23 хорошо видно, с какой точностью выполняется постоянство и(г, у)/пу. Исключение составляют два-три 17*
п P = 60° 7=0.915 UnInI P = 60° 7 = 0.915 UnW P = 90° 7=0.815 UnW P = I 20° 7=0.71 UnW
1 430 440 440 440 244 205 243 316 266 333
2 302 408 297 408 229 175 228 318 252 364
3 256 413 256 413 229 176 228 326 268 376
4 236 411 233 411 227 175 225 328 гіг 380
5 238 401 238 404 225 174 222 329 275 382
6 243 404 241 398 222 173 219 328 276 382
7 239 396 238 405 220 172 216 327 277 382
8 237 394 233 404 218 171 213 326 277 382
9 236 392 228 415 216 170 214 324 277 382
10 240 392 223 431 214 168 320 276
11 242 398 218 461 213 167 320 275
12 245 216 165 319 274
13 250 216 165 273
14 256
500
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
ближайших к угловой точке значения. Причина и здесь кроется в грубой аппроксимации угла ступенчатой ломаной. Дополнительный контроль — в расчете при р = 90° два крайних столбца должны совпадать, так как соответствующие им лучи симметричны относительно биссектрисы угла.
