Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Задача качения. Следующий пример неклассической вариационной задачи связан с задачей качения шарика по плоскости с учетом сухого трения. Под действием силы, направленной ортогонально плоскости качения, материалы шарика и основания дефор-
§ 29}
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
477
мируются и образуется двумерная область контакта G (процесс считается стационарным). Область G задана (ее форма определяется решением другой вариационной задачи, которую мы не обсуждаем). В этой области определены искомые двумерные вектор-функции s(x, у) = {s,, S2J и т(х, у) = {тр т2}. Вектор s(x, у) имеет смысл относительного проскальзывания — смещения контактирующих точек шарика относительно их положения в отсутствие движения. (Заметим, кстати, что задача рассматривается в подвижной системе координат, в которой вся картина стационарна.) Вектор х(х, у) имеет смысл силы трения.
Перейдем к математической формулировке задачи. Итак, следует минимизировать функционал
^W')] = (/(*, 3011«(*, ЗОИ - (*(*> 3'), s(x, у))} dx dy (6)
G
при ограничении
l|t(x, у)|| *s/(x, зО, V (х, у) Є G, (7)
и связи между S И X в виде
s(x, у) = v(x, у) - у В(х — х',у- У) х(х', У) dx' dy'. (8)
G
Здесь все, кроме XHS, задано, / имеет смысл нормального давления, V — скорость движения точки (х, у) в подвижной системе координат, В(х, у) — некоторая (2 -* 2) матрица-функция. Функционал обозначен /’[т], так как s явно выражается через х. Эта функция, таким образом, является единственным независимым аргументом.
Задача хорошо исследована. О ее решении известно следующее.
1. Решение существует и единственно.
2. Минимальное значение F есть нуль.
3. Область G разбивается на две части: область сцепления G0, в которой s(x, у) = 0, (Іх(х, у)Il < /(х, у), и область проскальзывания G\G0, в которой (Is(x, у)|| *=0, х(х, у) = f(x, y)s(x, y)/||s(x, у)||. Это, в сущности, хорошо известные законы сухого трения. Если сила К х К меньше некоторого порога, пропорционального силе нормального давления, скольжения нет (s = 0). Если сила достигает этого порога, начинается скольжение.
Мы сталкиваемся с недифференцируемостью функционала (6) в тех точках х(-), в которых уже имеется непустая область сцепления G0.
Приближенное решение задачи качения. Опишем в общих чертах метод приближенного решения задачи. Первый элемент метода — конечномерная аппроксимация. В области G вводятся квад-
478
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
ратная сетка с шагом h и узлами (к, т) и сеточные функции хк , sk m и т.п. Функционал аппроксимируется суммой
fW = A2EI {/*, mils*, mil - (Ч«* **.«)}.
к т
а связь между s и т записывается в виде
Sk,m = vk,m- Bi-k,j-mxt, J-
і j
Проблемы вычисления элементов матрицы В обсуждаются в § 30. Основная трудность состоит в построении алгоритма минимизации недифференцируемого функционала. Дело в том, что, коща образуется область сцепления, зависимость F от т становится, вообще говоря, аналогичной зависимости типа (а, х) + ||т||. График этой функции есть «наклоненный конус». Множество направлений ее убывания (если оно не пусто) есть конус, тем более узкий, чем ближе ситуация к экстремуму (т.е. чем ближе ||а|| к единице). Найти хотя бы одно направление в таком конусе в пространстве очень высокой размерности (тем более высокой, чем меньше шаг сетки h) — сложная вычислительная задача. Она осложняется еще и тем, что интересы эффективности процесса минимизации требуют не просто какого-то направления убывания F, но, по возможности, направления наиболее быстрого убывания. Конечно, наличие ограничений ||т|| < / вносит дополнительные осложнения и сокращает возможности выбора.
Метод численного решения, реализующийся в виде процесса построения минимизирующей последовательности, основан на анализе формулы для первой вариации функционала. Пусть текущая, уже найденная точка х подвергается малому возмущению, т.е. переходит вх + 6х. Как изменится при этом значение Fl Для упрощения изложение будем вести в терминах функций и интегралов. Перевод полученных формул в сеточный вид достигается заменой аргументов х, у на индексы к, т, интегралов — на суммы. Кроме того, используем полезное свойство преобразования В в (8):
j j (Вх, х) dx dy = 0, Vx. с
Это позволит упростить выражение для функционала, заменив в (6) интеграл от (s, т) = (х, v — Вх) на интеграл от (х, и).
Первоначальное выражение (6) для F полезно в том отношении, что позволяет контролировать качество приближенного решения. В точном решении, как это следует из указанных выше сведений о нем, подынтегральное выражение
f(x, зОНфс, у)\\ - (х(х, у), s(x, у)) =0, V (х, у).-
Будем проводить вычисления в некоторой точке х(-), для которой определена область сцепления Ge: ||х(х, у) || «? е(х, у) (роль є разъ-
§ 29] ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ 479
ясняется ниже). В соответствии с этим функционал можно разбить на две части — на дифференцируемую (по Фреше) Fd и недйффе-
ренцируемую Fa:
jP[x(•)] = Fd + Fa = JJ {...} dxdy+ {...} dx dy.
