Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 190

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 210 >> Следующая


индексные матрицы (первая пара индексов из G, вторая — из Gt). В правой части матрицы стоит разреженный блок 6N0 х 3N0, состоящий из коротких (по шесть элементов) строк, расположение которых показано на рисунке.

Ясно, что такая задача сама по себе практически непосильна для БЭСМ-6, а ее предстоит решать много раз: на каждой итерации. Поэтому был использован прием, известный под названием «агрегирование неизвестных». Он состоит в том, что ячейки сетки hxh объединялись в блоки Hx Н, где (3 4)h, например, и все переменные считались постоянными

в каждом блоке. Иными словами, процесс проводился не на основной Л-сетке, а на более грубой Я-сетке. Это приводит к существенному сокращению размеров задачи (до 360 неизвестных и 120 условий) .

Вышеприведенная громоздкая методика использовалась попеременно с методом регуляризации. Когда последний переставал работать, делалась одна итерация с применением линейного программирования, которая «сдвигала» точку т(-) со стационарной для метода регуляризации ситуации. Снова применялся спуск по градиенту с регуляризацией, и т.д. В конечном счете было получено приближенное решение с такими характеристиками: F = 0.026, /макс я» 0.15, причем только в семи узлах (из 800) значение / попадает в интервал [0.1, 0.15]. Что касается затрат машинного времени (на БЭСМ-6), то первый этап стоил 25 мин, а в целом расчет занял 2 ч 15 мин. Это был один из первых расчетов, в процессе которого отрабатывалась «стратегия» проведения вычислений. В дальнейшем время подобных расчетов несколько сократилось.

То, что было описано выше, представляет вторую, видимо, попытку решения задач подобного рода (она осуществлялась автором), если, конечно, не считать типичных в механике приближенных решений, основанных на тех или иных упрощающих предположениях, априорных гипотезах о решении и т.п. Подобные решения оказываются удачными в той мере, в какой оправдываются такие гипотезы. Первый опыт решения задачи о качении в ма-

N N бАр

*,.2 ” 0 - - 0
t , N0 2.1 *2,2 ' 0 - 0
t Ai» 0 " 0 -

6666 ... 6 Рис. 54
§29]

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ

485

тематически замкнутой форме был предпринят И. И. Калькером. Он использовал несколько иную форму минимизируемого функционала и, соответственно, другие алгоритмы. Результаты его расчетов были проконтролированы решением по вышеизложенной методике.

На рис. 55 показаны данные сравнения.решений одной задачи двумя разными методами. Показаны графики функций т2(х, 0), s2(x, 0). Линия у = 0 является линией симметрии, в силу которой T1(X) 0) = st(x, 0) = 0. Решение Калькера изображено штриховой линией, решение по вышеописанной методике — сплошной. Хотя в целом, качественно, картины близки, можно отметить явные, видные даже на глаз дефекты «штрихового» решения. Там, где s2 0, должно быть т2 = /s/Ц s||. Сплошная линия точно следует этому правилу: знак T2 меняется точно в том р 55

месте, где S2 проходит через нуль. Штриховая

линия явно нарушает это правило точного решения. Нарушено условие задачи ||т|| Sg / (примерно на 11 %). Нарушен и второй «закон»: там, где ||т|| < /, обязательно S = 0.

Вычислительные методы математического (в частности, линейного) программирования вбзникли, развивались и применялись в первую очередь в связи с внедрением математических методов в экономические теории. Поэтому многие считают их некой «экзотикой», интересующей весьма узкий круг специалистов. Большинство физиков, механиков и представителей других естественных наук этих методов не знают. Между тем и в этих областях в последние годы все чаще возникают задачи, настоятельно требующие применения именно таких нетрадиционных алгоритмов.

Метод двойственности. Опишем основные моменты другого подхода к решению неклассических вариационных задач, в котором используется так называемая двойственная формулировка задачи. Вычислительные алгоритмы такого рода разрабатываются группой математиков, возглавляемых Ж. Лионсом. Одним из первых приложений этих методов было решение задачи Бингама. Применительно к ней мы и будем вести изложение. Итак, требуется минимизировать функционал F[u(-)] вида (3).

Основной момент нижеследующего состоит в замене недифференцируемой функции ЦІН (| — некоторый вектор) решением специальной задачи на экстремум, сформулированной в терминах только гладких функций. Нетрудно проверить, что

ЩИ = max (Al).

IIpII «і

(И)
486

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

Очевидно, максимум достигается при р = |/||?(|. Используя (11), задачу (3) можно переформулировать следующим образом:

min Ї j { —у-1 4- max (р, w(x, у)) — сш(х, у)} dx dy,

«(•) с Il Pii

р(х, у) = Ip1, р?, w = {мх, иу}.

Первый шаг в дальнейших преобразованиях имеет целью вынести операцию взятия максимума по р за пределы интеграла, т.е. осуществить преобразование

max (р(х, у), w(x, у)) dxdy = max (р(х, у), w(x, у)) dx dy. G P G (12)

Справедливость его почти очевидна: обе части (12) достигают максимума при р(х, у) = w(x, y)/||w(x, у) И и оба значения интегралов в (12) при этом совпадают.
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed