Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 186

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 210 >> Следующая


Au + [и J U2x + и2^ + {и J у/U2x + и2 j + а = 0.

Проварьируем функцию и в области ядра следующим образом. В окружности, концентрической с ядром радиуса р — 6, положим возмущение равным є. Пусть вне ядра возмущение будет нулевым, а в «поясе» шириной 6 оно линейно по радиусу переходит от нуля до є. Обозначим возмущенную функцию и(х, у), область ядра g. Вычислим приращение функционала, опуская некоторые заведомо несущественные малые величины:

Л«(-,')]-Л«(-,-)] =

= — j j ає dx dy + j j {Vи2 + Z2 + 0.5(? + и2)} dx dy. x q
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ

475

Здесь q — вышеупомянутый пояс. Легко понять, что в этом поясе (м2 + м2)1/2 = I е/6 I, так как величина U2x + иу инвариантна при поворотах системы координат и при ее оценке удобно перейти в локальную систему координат, оси которой совпадают с касательной и нормалью к контуру g.

Для вариации функционала имеем

6F= -аєлр2 + 2лр6(|є/6| + 0.51 є/6|2).

Пусть возмущение є <с 6. Тогда главная часть 6F при є > Q (є < 0 можно не рассматривать, так как в этом случае заведомо &F > 0) есть 6F = —е(алр2 — 2лр). Очевидно, если алр2 > 2лр, точка и может быть улучшена. Итак, необходимым для оптимальности и является условие алр2 ^ 2лр.

Предоставим читателю обобщить эту конструкцию на область ядра произвольной формы. Легко понять, что лр2 надо заменить на

S (площадь g), а 2jtp — на длину контура L. Тем самым мы получаем общее необходимое условие на ядро течения в терминах его площади и длины контура границы: aS ^ L. Более тонкий анализ показывает, что условие a = L/S является достаточным для того, чтобы тбчка и( - ,¦) была решением задачи Бингама (это установлено П. П. Мосоловым и В. П. Мясниковым в 1965 г.).

Проверим, что в определенных, заведомо неоптимальных ситуациях попытки «улучшить» некоторое проверяемое «решение» с помощью финитных возмущений окажутся безуспешными, т.е. функция, явно не являющаяся точкой минимума функционала, оказывается «минимумом» относительно класса финитных возмущений. Пусть и(х, у) =0. Все финитные возмущения исследовать довольно сложно, но простое их множество поддается оценке и хорошо проясняет суть дела.

Итак, возьмем в качестве возмущений функции 6и(х, у) в форме конуса высотой є и радиусом р, равные нулю вне круга радиусом р. Тогда всюду в круге радиусом р, очевидно, (6м2 + 6м2)1/2 = | є/6| и приращение функционала на таком возмущении легко подсчитать:

6F = лр2 {0.5(е/р)2 + I є/p I} — (1/3) CtJtp2E =

= Jtp2 {0.5(є/р)2 + І є/р| — (1/3)ає}.

Таким образом, как бы ни был велик параметр а, при достаточно м^лом р будет 6F > 0, т.е. такая вариация только ухудшает функцию. В то же время легко строится нелокальная вариация 6м того типа, который был описан выше, и для нее 6F < 0.

Все это имеет прямое отношение к одной из распространенных схем приближенного решения вариационных задач.
476

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

Метод покоординатного спуска. Нелокальность условий экстремума («уравнения Эйлера») в неклассической вариационной задаче имеет серьезные последствия с точки зрения вычислителя. Рассмотрим универсальный метод построения минимизирующей последовательности. На этой основе естественно пытаться строить приближенные методы.

Здесь есть чисто технический вопрос — конечномерная аппроксимация вариационной задачи. Введем сетку с шагом к (по хиу) и узлами (к, т.) и сеточную функцию Uk т. Заменим функционал функцией конечного числа переменных. Обозначим

^А + 1/2, m+1/2 = (mA-I-I1 т ~~ ик, + ( ик, т + 1 — ик, т)2/^2

и аппроксимируем функционал F(и) так:

F(u) = h2 J {0-51к + 1/г m + 1/2 + ^ ^k +1/2, т + 1/2 “' аик +1/2, т + ііт) (^)

к, т

(ик+1/2, т+1/2 — среднее из четырех значений в узлах сетки).

Метод покоординатного спуска минимизации функционала (5) состоит в том, что поочередно меняются значения ик т в одном узле с целью понизить значение F. Очевидно, при вариации значения ик т в сумме (5) изменятся только три слагаемых (соответствующих узлам (к — I, т), (к, т— 1) и (Л, т)). Этот способ решения вариационных задач известен уже около ста лет под названием «релаксационный». Он является одним из наиболее медленно сходящихся, но в классических вариационных задачах в принципе приводит к успеху. Если в каждом узле (Л, т) попытка понизить значение F оказывается безуспешной, минимум функционала (точнее, его конечномерной аппроксимации (5)) найден. Основу этого метода, очевидно, составляет множество финитных сеточных пробных функций.

Метод легко обобщается и на неклассические задачи. В частности, некоторый его вариант под именем «метод локальных вариаций» был одним из первых, предложенных для приближенного решения задачи Бингама. Однако из сказанного выше следует, что такой метод принципиально неадекватен природе задачи: здесь нужны более сложные и тонкие алгоритмы. Действительно, применение метода локальных вариаций, популярного благодаря его алгоритмической простоте, привело к публикации «решений» (задач Бингама, Ильюшина и некоторых других), опровергнутых последующими расчетами.
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed