Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Для составления таких соотношений нам нужны не базисные функции (р, а некоторые функционалы от них. Определим эти функционалы (потоки):
nU =-Я'# Ix-.. п>г = о>ЇЙ| (=1,2. (6)
Они имеют смысл потоков внутрь ячейки через ее левую и правую границы. Очевидно, при интерполяции (5) поток в точку хт определяется значениями ит_{, ит, ит+1, и точное решение характеризуется тем, что он равен нулю (ввиду отсутствия 6-образных источников). Это, впрочем, равносильно непрерывности потока: Dux | ^_0 = Dux | ^+0.
В терминах функционалов (6) условие непрерывности потока в узле хт записывается следующим образом:
Um-1 П1, 2 + Um П2, 2 + ит П? , + Um + l П| , = 0, (7)
или в стандартной трехточечной форме:
атит-1 + 2Ьтит + Стит + 1=0, (8)
ще ат = U112, Z>m = 0.5(n? 2 + П? ,)> Cm = YIj l. Для простоты предполагаем, что на [хт_1, хт] помещен элемент первого типа, на [хт, .Jcm+J — элемент второго типа.
§ 31]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
505
Таким образом, (8) есть так называемая «точная разностная схема» (точная в той мере, в которой точно нахождение базисных функций ф). Если бы исходная задача (4) была неоднородной и содержала в правой части не нуль, а /(*), причем / — гладкая на H-сетке функция (т.е. на интервалах [хт, хт+1] можно пренебречь отличием / от среднего значения /т+1/2), то следовало бы оснастить каждый элемент еще одной базисной функцией (р(,(;с), определяемой краевыми значениями ip(0) = (Я) = 0 но с правой частью,
тождественно равной единице. Тогда в схеме (8) добавится слагае-
мое f m-l/2^0, 2 ^ f т +1/2? Г
Подчеркнем еще раз отличие метода конечных суперэлементов от метода конечных элементов. В методе конечных суперэлементов базис состоит из решений исходной задачи, и это определяет его преимущество. В частности, метод конечных суперэлементов претендует на расчет с большим шагом Я. Однако с этим же связана и его определенная ограниченность. Он требует предварительного расчета базисов и сохранения используемой в дальнейшем информации — потоков П, что реально можно сделать только для ограниченного числа стандартных «элементов», из которых и должна компоноваться рассчитываемая система. Метод конечных элементов, конечно, гораздо универсальнее, но он требует достаточно малых размеров конечных элементов, геометрическая форма которых может быть достаточно разнообразной.
Гомогенизация. Как подчеркивалось выше, существуют важные приложения, в которых посильными для расчетов на современных ЭВМ являются сетки с шагом Я, однако требующие расчета реальные системы имеют пространственную структуру с много меньшими Я размерами. Конкретно это можно представить себе, например, следующим образом. Решается задача (4) в слоистой среде, т.е. интервал [0, X] заполнен слоями разных веществ, толщины которых много меньше Я. Для этих веществ известны коэффициенты D и А. Используется такой подход. Для каждой ячейки размером Я пытаются найти свои эффективные коэффициенты Z>m+1/2, Atn+^2, с которыми составляют стандартную разностную схему. Такая операция весьма распространена, например, в математической теории атомных реакторов. Она получила название «гомогенизация», а эффективные коэффициенты уравнения (4) называют «гомогенизированными».
Часто гомогенизация осуществляется простым осреднением коэффициентов «на решении». Поясним суть дела на примере задачи (А). Прежде всего следует конкретизировать «типичное» решение, по которому производится осреднение. Так как шаг Я в некотором смысле в дальнейшем считается не очень большим (в том смысле, что можно ожидать малого изменения искомого решения
506
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
полной задачи при переходе от точки хт к хт+1), то «типичное» решение в ячейке длиной Я определяется решением задачи (4) с краевыми условиями 2(0) = U(H) = 1.
Определив решение й(х), осредняют на нем коэффициенты (4), придерживаясь физических соображений. Так, в уравнении (4) и ему подобных важную роль играет число поглощенных частиц в ячейке
н
$-4(*) и(х) dx о
(здесь и(х) означает решение исходной задачи (4)). Исходя из стремления правильно передать физическую сущность процесса (а число поглощенных частиц есть одна из основных характеристик при расчетах атомных ректоров, их защит, прохождения излучения через оптически толстые среды и т.п.), осредненный (гомогенизированный) коэффициент А определяют, например, формулой
H H
A = J й(х) А(х) dxj J й(х) dx. о о
Близкие соображения используют и при осреднении коэффициента диффузии.
Точная разностная схема. Если отвлечься от погрешностей расчета базисных функций, то при любых значениях ит функция (5) является «кусочно-точным» решением уравнения (4): оно удовлетворяется во всех точках, кроме узлов хт. Если к тому же значения Utn удовлетворяют разностному уравнению (7), т.е. в узлах хт выполняется условие непрерывности потока, то функция (5) является просто точным решением (4).
Описанная выше процедура построения «точной» схемы является наиболее обоснованной процедурой «гомогенизации». Она дает нетривиальные результаты даже при постоянных коэффициентах D и А только за счет «большого» шага. Поучительно привести характерный пример. Пусть А и D в (4) постоянны, но шаг Я большой. Тогда точная схема (7) получается стандартным образом:
