Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
формуле (28а) не только из 4-вектора вида (26), но и из п р о-извольного
ковариантного 4-вектора. В справедливости этого мы сейчас убедимся.
Прежде всего, легко видеть, что компоненты А^ произвольного ковариантного
4-вектора в четырехмерном пространстве можно представить в форме
(27)
Рассмотрим величины
(28)
(28а)
345
формальные основы общей теории относительности
1914 г.
где величины ЧЧ и Ф* являются скалярами. Если мы выбираем (в используемой
специальной системе координат) Фу = xv, то теперь следует только положить
Ту = Av (в той же специальной системе координат), чтобы получить это
представление. Чтобы убедиться в тензорном хара ктере построенных по
формуле (28а) величин Л"у, достаточно проверить,
дФ
что Л^, является тензором, если в формуле (28а) Лц=Ч^ , причем Т иФ-
скаляры.
Согласно формулы (28), величины
д*Ф
дх^дх^
V f !xvl
являются компонентами тензора, так же как, согласно (26) и (6), и
величины
д'У дф дх^ дхv'
После сложения обнаруживается тензорный характер выражения
_д_
дх.
^дФ ¦ 5а>->
?М
^ Лф
Поэтому по формуле (28а) образуется тензор из 4-вектора Чг и, сле-
довательно, с учетом сказанного выше, из произвольного ковариантного 4-
вектора А[Х. Таким образом, высказанное утверждение доказано.
После того, как произведено расширение ковариантных тензоров первого
ранга, легко найти расширения ковариантных тензоров произвольного ранга.
Согласно равенствам (6) и (6а), каждый ковариантный тензор может быть
представлен в виде суммы тензоров типа
л _ Пй /С2)
^oci...aj - ^aj ла2 • • •
где через Л^ обозначен ковариантный 4-вектор. Согласно (28а), величина
дА\У
представляет собой ковариантный тензор второго ранга.
Перемножим его по правилам внешнего умножения со всеми 4-векторами Л(а^
за исключением Ла^; в результате получим тензор ранга I + 1, при
образовании которого индекс v был выделен. Можно образовать I подобных
тензоров, для которых индекс v принимает последовательно зна-
Л4Н
29
Формальные основы общей теории относительности
чения v = 1, v = 2, v = Z. Сложив их, получим тензор ранга I + 1. дА,
ai***°Ч | QtlS^ ^ ^ | Ct2^| ^ (
-Щ 2j Ц т J А^г...а1 + | т } • •
(29)
Эта формула, найденная Кристоффелем, согласно приведенным выше
замечаниям, позволяет строить по произвольному ковариантному тензору I
ранга новый тензор (/ + 1)-го ранга, который мы будем называть "р а с-ш и
р е н и е м" исходного тензора. На основе этой операции могут быть
определены все дифференциальные операции.
Умножив выражение (29) на gaA g1X202 ... g*1^1 таким образом, чтобы
умножение по отношению к индексам являлось внутренним, а по отношению к
(3 внешним, получим тензор, контраварйантный по Pi-Рг и ковариантный по
s. Наконец, написав опять а вместо [3, получим
А
a,...a i
дА
а,...оч
+s[{:)
^а,та3...аг
(30)
Этот тензор может быть назван расширением контравариантного тензора.
Изучение выражений (29) и (30) показывает, что определяемое ими
расширение всегда приводит к одному индексу ковариантного характера.
Легко также получить общую формулу для расширения смешанного тензора,
представляющую собой объединение формул (29) и (30).
Дивергенция. Расширение контравариантного тензора l-то ранга является
смешанным тензором (I + 1)-го ранга. Из него может быть образован
контраварйантный тензор (I - 1)-го ранга путем внутреннего умножения на
смешанный фундаментальный тензор (10), что может быть сделано различными
способами. Соответственно этому, можно различать I, вообще говоря,
различных дивергенций контравариантного тензора. Одна из них имеет вид
= 2 4.в,'"Х ¦ (31>
v
Для симметричных и антисимметричных тензоров результат образования
дивергенции не зависит от того, какой из индексов а был при этом выделен.
Некоторые вспомогательные формулы. Прежде чем применять полученные
формулы к различным специальным случаям, выведем некоторые
дифференциальные свойства фундаментальных тензоров. Дифференцируя
347
формальные основы общей теории относительности
1914 г.
определитель | | = g по координате жа, получаем
2 *12. (32)
g дхл /Л дхл ° YY дх*
Из формул (24а), (24) и (32) имеем
= = (зз)
Дифференцирование выражения (10) дает
2%V° = - 2^- <34>
а а
о а
После умножения этого равенства на gvx и суммирования по v или же
после умножения на gи суммирования по ц, принимая во
внимание
формулу (10), получаем два уравнения, которые в новых обозначениях
индексов имеют вид:
дх
дх.
"--2 ^ <35>
Расширение и дивергенция 4-векторов. Расширение ковариантных 4-векторов
дается формулой (28а). Переставляя индексы р, и v и производя вычитание,
получаем антисимметричный тензор
дЛ дА
А^- = -Щ- - (286)
Расширение Да контравариантного 4-вектора Да дается формулой (30)
= ж + 21 "IА'-
?(Г]
Отсюда дивергенция
ri) - V dW = V /_L V / ^Т1 Ах\
29
Формальные основы общей теории относительности
Согласно соотношениям (33),
Ф = (37)
Пусть Av- в последнем выражении представляет собой контраварйантный
вектор гДе Ф скаляр; тогда получим известное обобщение
