Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
сформулированы дифференциальные уравнения гравитационного поля.
Нетрудно увидеть, что для определения воздействия гравитационного поля на
материальные процессы должны быть заданы величины
которые поэтому мы назовем "компонентами гравитационного поля".
Естественно измеряемые величины. Ранее уже подчеркивалось, что в об-щей
теории относительности нельзя выбрать такую систему координат, в которой
можно было бы пространственные и временные разности координат связать
путем измерения с некоторым масштабом и часами в такой же мере
непосредственно, как это делалось в случае специальной теории
относительности. Подобный привилегированный выбор координат возможен
только для бесконечно малой области, когда полагается
Величины с??, согласно § 2, измеряются точно так же, как координаты в
специальной теории относительности, однако они не являются полными
(42в)
V
(46)
§ 10. Уравнения движепия непрерывно распределенных масс
ds2 - У! Я dx dx - - d&- dl2 - d№ + dt2.
Ub - |1 * sl s2 э3 1 =4
23*
355
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
дифференциалами. В бесконечно малой области все величины можно относить к
системе координат в этом случае мы будем их называть "естественно
измеряемыми" величинами. Систему координат dl, назовем "нормальной
системой".
Согласно соотношению (17а), для бесконечно малого четырехмерного объема
справедливо равенство
V- g ^ dx 1 dx2 dx3 dx^ = ^ dh d%2 dl3 dlt. (47)
Пусть рассматриваемый объем расположен около бесконечно короткого отрезка
бесконечно тонкой четырехмерной нити. Пусть dv означает интеграл dx% dx3.
Выберем систему координат dl, таким образом, чтобы ось
d|4 совпадала с осью нити; тогда = ds, и интеграл^ d^id^dlз означает
естественно измеренный покоящийся объем dv0 нити. Согласно равенству
(47), имеем
Y-g dv dXi = dv0ds. (47a)
Единица массы. Массы двух материальных точек можно сравнивать с помощью
обычных методов. Для измерения массы требуется только одна единица массы.
В качестве таковой определим количество воды, которое заключено в
естественно измеренном объеме, равном единице, в состоянии относительного
покоя. Массы материальных точек, по своему определению, являются
инвариантами относительно всех преобразований.
Скалярная плотность. Под скалярной плотностью непрерывно распределенной
материи мы понимаем массу, отнесенную к единице (движущегося вместе с
ней) естественно измеряемого объема. Скалярная плот-
dx
ность вместе с компонентами скорости ~ полностью характеризует
материю в смысле гидродинамики в случае, когда можно не обращать внимания
на поверхностные силы.
Тензор энергии движущихся масс. Уравнения движения. Из скаляра
Ро и контравариантного 4-вектора скорости можно построить смешанный F-
тензор
/ dx" dxtl
" = Р"^-*7гг2**тгг- <48>
Р-
Напрашивается предположение, что величина (%1) представляет собой тензор
энергии тяжелых масс, и что уравнения (42а) вместе с (48) соответ-
356
29
Формальные основы общей теории относительности
ствуют уравнениям Эйлера для случая несвязанных масс, т. е. для случая
когда можно пренебречь поверхностными силами. Докажем справедливость
этого утверждения; при этом мы заодно получим уравнения, найденные ранее
в качестве уравнений движения материальной точки.
Пусть рассматриваемые массы находятся в бесконечно малом объеме хх, х2,
хг. Интегрируя (42а) по этим переменным по всей "линии тока" и полагая
для краткости dxx dx2 dx3 - dv, получаем
Подставляя сюда выражение (48) для ST.* и учитывая, что согласно
соотношению (47 а)
10 Здесь следует упомянуть, почему нами для формулировки теоремы энергии-
импульса было использовано уравнение (41), а не уравнение (39). Согласно
уравнению (39), тензор энергии был бы контравариантным F-тензо-
Тогда в § 11 с помощью изложенного метода мы пришли бы к тому, что стали
бы рассматривать в качестве компонент импульса и энергии компоненты
кование противоречит нашему физическому пониманию сущности импульса,
будет здесь показано в весьма специальном случае.
В пространстве без гравитационного поля введем систему координат,
отличающуюся от "нормальной системы" только тем, что ось хг составляет с
осью
d
dxi
(49)
TV
7 dvо ds
dv = --=-----------------г-
У g dxi
(476)
и что
(50)
получаем уравнение
d
dxi
{(tm)2v?} = 2{
f*
или, введя для краткости 10 ковариантный 4-вектор
(51)
ром, и компонентами гравитационного поля следовало бы считать величины
контравариантного 4-вектора
857
Формальные основы общей теории относительности 1914 г*
окончательно имеем
ё = + <49б>
V-C
Эти уравнения представляют собой уравнения движения материальной точки,
если четвертая (временная) координата выбрана в качестве независимой
переменной. Из таблицы (43) следует, что компоненты (/а) по своему
физическому смыслу являются взятыми с обратным знаком компонентами
импульса или энергии материальной точки. В случае специальной теории
относительности, когда величины g^ принимают значения (18), имеем
та
-1г =
