Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
332
29
Формальные основы общей теории относительности
удовлетворяют. Тем не менее, произвольный тензор удается представить в
виде суммы нескольких тензоров вида (6)5:
Ар^ = -j- CpD, +¦•••• (6a)
Это же справедливо и для ковариантных тензоров высших рангов. Такое
представление тензоров через четырехвекторы оказывается полезным при
доказательстве многих теорем. Аналогичное замечание можно сделать для
ковариантных тензоров высших рангов.
Контравариантные тензоры. Аналогично тому, как ковариантные тензоры,
согласно соотношению (6) или (6а), могут быть образованы из ковариантных
4-векторов, можно построить контраварйантный тензор из контравариантных
4-векторов, согласно соотношениям
= A"BV (7)
и, соответственно,
А*' = А*В' + CW + . . . . (7а)
Из этого определения и уравнения (4) непосредственно следует закон
преобразования
= (8)
afi дха дх?
Аналогично определяются контравариантные тензоры высших рангов. Таким же
путем рассматривается и специальный случай симметричного тензора.
Смешанные тензоры. Можно построить тензоры (второго и высших рангов),
которые относительно одних индексов имеют ковариантный, а относительно
других - контраварйантный характер; такие тензоры называются смешанными.
Например, смешанный тензор второго ранга имеет •вид
Ар = АрВ -J- CpD (9)
Антисимметричные тензоры. Помимо симметричных ковариантного и
контравариантного тензоров, важную роль играют так называемые
антисимметричные ковариантные и контравариантные тензоры.
Они характеризуются тем, что компоненты, отличающиеся друг от друга
перестановкой двух соседних индексов, равны по величине, но п р о т и-
5 Ясно, что при сложении соответствующих компонент тензоров в результате
получаются компоненты нового тензора, как это было показано для тензора
первого ранга (4-вектора) (сложение и вычитание тензоров).
333
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
воположны по знаку. Если, например, контравариантный тензор удовлетворяет
условию А^ - - Avt\ то его называют антисимметричным контравариантным
тензором второго ранга, или 6-вектором (так как он имеет 12 отличных от
нуля компонент, которые попарно имеют равные* абсолютные значения).
Контравариантный тензор третьего ранга А^'х является антисимметричным,
если выполняются условия
Очевидно, что такой антисимметричный тензор имеет только 4 отличные от
нуля различные компоненты (в пространстве 4 измерений).
Независимость этого определения от выбора системы отсчета легко
доказывается с помощью соотношения (5а) или (8). Например, согласно
соотношению (5а),
Заменяя Аа[зна-А$а (что справедливо по предположению) и меняя местами в
двойной сумме индексы а и [В, по которым производится суммирование,
получаем
в соответствии с утверждением.
Доказательство для контравариантных тензоров и тензоров третьего и и
четвертого рангов может быть дано аналогичным образом. Антисимметричные
тензоры рангов, выше четвертого, не могут быть заданы в четырехмерном
пространстве, поскольку, по определению, все компоненты, для которых два
индекса одинаковы, обращаются в нуль.
Внешнее произведение тензоров. Мы видели [ср. соотношения (6), (8) и
(9)], что при перемножении компонент тензоров первого ранга получаются
компоненты тензоров высших рангов. Аналогично мы можем получать тензоры
высших рангов из тензоров низших рангов при перемножении: всех компонент
одного тензора на компоненты другого. Пусть, например, (Аа|з) и (Bxp.iз)
ковариантные тензоры; тогда (Аар5^а) есть также ковариантный тензор
(пятого ранга). Доказательство тотчас же следует иэ того, что любой
тензор можно представить в виде суммы произведений
5. Умножение тензоров
334
29
Формальные основы общей теории относительности
4-векторов:
вх,0 = sb^b^bS,31
И
Л.цВ^ = 2 A^AfBfBfBf.
Поэтому (Лар5х^0) является тензором пятого ранга.
Эту операцию называют "внешним умножением", а ее результат - "внешним
произведением" тензоров. Ясно, что при этом не возникает никаких
ограничений на тип и ранг "перемножаемых" тензоров. Для нескольких
последовательных операций выполняется коммутативный и ассоциативный
законы.
Внутреннее произведение тензоров. Операция над тензорами первого ранга Av
и Av, задаваемая соотношением (36), называется "внутренним ухмножением",
ее результат - "внутренним произведением". Эту операцию легко
распространить на любые тензоры, поскольку тензоры высших рангов можно
представить через 4-векторы. Пусть, например, АаРу... является
ковариантным, a - контравариантным тензорами одинаковых
рангов; тогда
2 (л"вг..л",т-) = ф
a0Y...
представляет собой скаляр. Доказательство этого непосредственно слет дует
из соотношения (36), если положить
Ия(3у... = 2^4Я5|3Су. . .,
и перемножить эти выражения.
Смешанное произведение тензоров. Самое общее перемножение тензоров
состоит во внешнем умножении по одной группе индексов и внутреннем
умножении по другой. Из двух тензоров А и В тензор С получаетсд согласно
следующей схеме
VI / j ot'3/Y,...XtiV... гла.$1..Лтп...\
