Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
а|ЗХ[х
в силу известных теорем для определителей это равно
Vg ьШт
или, согласно формуле (11),
1 л
- Oiklm•
Тем самым доказано, что
СШт=Л=аШт (21 а)
представляет собой контравариантный антисимметричный тензор.
Наконец, важную роль в теории общих антисимметричных тензоров играет
смешанный тензор, образованный из фундаментального тензора gy.v,
компоненты которого имеют вид:
формальные основы общей теории относительности
1914 г.
Тензорный характер последних выражений очевиден из предыдущего. Докажем
только, что они совпадают друг с другом. Второе из них, согласно
соотношениям и (19), (21) и (21а) можно представить в форме
2 Vg e^agW^mgpagoPgaiSeft,
откуда после суммирования поа и р с помощью формулы (10) получим
2 Vg biy-ikg^g^;
Х\у.
последнее выражение отличается от первого выражения в формуле (22) только
в обозначениях индексов суммирования и (несущественно)
последовательностью пар индексов fyji и ik в Из формулы (22) яв-
/ Sllm\
ствует, что смешанный тензор {(лцс) является антисимметричным как по
индексам i, к, так и по индексам I, т.
С помощью фундаментального тензора можно из произвольного тензора строить
различными способами тензоры другого характера с помощью приведенных в §
5 правил. Например, из ковариантного тензора (Т можно построить
контраварйантный тензор (Г^у) по правилу
Т= S (23)
и наоборот,
Эквивалентность уравнений (23) и (23а) легко показать с помощью формулы
(10). Тензоры (7>v) и (Т^) называют "взаимным и". Если один из двух
взаимных тензоров симметричен или антисимметричен, то другой тензор, как
вытекает из соотношений (23) и (23а), обладает тем же свойством. Это
выполняется для тензоров произвольного ранга.
Дуальный 6-вектор. Пусть далее (F^) антисимметричный тензор (второго
ранга). Тогда мы можем поставить в соответствие ему второй
антисимметричный тензор Fv-V* с помощью формулы
(24)
ос|3
называют контравариантным 6-вектором, "дуальным" F^v. В свою очередь, F^v
дуален F^v*. Умножая обе части равенства (24)
340
29
Формальные основы общей теории относительности
на и суммируя по индексам р, и v, получаем
ap[j.v
но, согласно формуле (22), имеем 7
= 2 6^vXxg>'0"*'C 'у=^^Уу.'ёх,лё-л'^ = 2 -
S|6a).
jxv javXxX'x'
Тогда получим
\ 2 G^GliF^ = 4 (F" - F'a) = F",
apjxv
откуда и следует утверждение.
Для ковариантны х 6-векторов все результаты сохраняются. Далее, легко
доказать, что 6-векторы, взаимные к двум дуальным 6-векторам, дуальны
между собой.
§ 7. Геодезические линии, или уравнения движения точки
В § 2 уже указывалось, что движение материальной точки в гравитационном
поле происходит согласно уравнению
6 {ds} - 0. (1)
С математической точки зрения движению материальной точки соответствует
также геодезическая в нашем четырехмерном многообразии. Мы приведем здесь
для полноты общеизвестный вывод явных уравнений этой линии.
Среди проходящих через две точки Ри Р(2) линий имеется линия, которая в
отличие от всех соседних бесконечно близких линий удовлетво-
7 Второе из этих преобразований основывается на том, что б^хх отлично от
нуля только тогда, когда все индексы различны. Поэтому остаются только
две возможности: (А, = А/, х = х') и (А, = х', х = А,'); с учетом этого
сначала получается после суммирования поц и v выражение
22 УУУУ3
Хх
причем суммирование сначала выполняется по таким комбинациям индексов
(Ах), для которых А, =tx. Однако, поскольку скобка обращается в нуль при
А, = х, суммирование можно проводить по всем комбинациям. Отсюда,
принимая во внимание формулу (10), получаем приведенное в тексте
выражение.
341
формальные основы общей теории относительности 1914 г"
ряет уравнению (1). Обозначим через X некоторую функцию координат xv;
тогда "поверхность" постоянного значения X пересекается с каждой из этих
бесконечно близких линий в некоторой точке, координаты которой для
заданной кривой являются функциями только значений X. Положим
w'
= 2
[XV
тогда вместо условия (1) получим:
Лг
\ bwdX - 0. (la)
Xi
Здесь пределы интегрирования Хг и Х2 совпадают для всех рассматриваемых
кривых. Обозначим через 6xv приращение к xv, необходимое для того, чтобы
перейти от некоторой точки искомой геодезической к точке на варьированной
линии, которой соответствует то же самое значение Я; тогда получим
1 (1 dx" dx,} _ _ dx,, " /dx,.
= w {t 2 Ж1 ' Ж Ж 0 ^ 2Ж {ж
puQV p-V
После подстановки этого выражения в формулу (1а) и интегрирования по
частям последнего члена с учетом того, что при X = и Х'= Х% приращение
bxv обращается в нуль, найдем
А"
^ d.X 2 (К06х0) = 0,
А, о
где
к =
0 2л [(/А, 1 w dX) 2w dxQ dX dX
[AV
Отсюда следует, что уравнение геодезической имеет вид:
Ка = 0. (23')
В специальной теории относительности тем геодезическим, для которых ds2
0, соответствует движение материальной точки, а тем, для
ко-
торых ds = 0, отвечает распространение света. То же самое будет
справедливо и в общей теории относительности. Исключив из рассмотрения
последний случай (ds =0), можно в качестве параметра выбрать длину дуги s
