Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
известным законам специальной теории относительности, могут быть выведены
без особых трудностей.
В. ИЗ ТЕОРИИ КОВАРИАНТОВ § 3. 4-векторы
Ковариантный 4-вектор. Четыре функции Av координат, определенные в
произвольной системе координат, называются ковариантны м 4-вектором, или
ковариантным тензором первого ранга, если для произвольно выбранного
линейного элемента с компонентами dx* сумма
^]Avdxv = Ф (3)
является инвариантом (скаляром) относительно произвольного преобразования
координат. Величины Av называются "компонентами" 4-вектора.
Закон преобразования для этих компонент следует непосредственно из этого
определения. В самом деле, пусть через Av, dxv обозначены соответствующие
величины в той же точке пространства, но по отношению к другой,
произвольно выбранной координатной системе; тогда имеем
Зсс
= = Ц Ла~&гЛх*'
v а а, v v
Это соотношение выполняется при произвольных значениях величин -dxпоэтому
искомый закон преобразования должен иметь вид
Х = (За)
dxv
Легко показать и обратно, что в силу этого закона преобразования величина
Av является ковариантным 4-вектором.
Контравариантный 4-вектор. Четыре функции координат А*, определенные в
любой произвольной системе координат, называются к о н-травариантным 4-
вектором или контравариантным тензором первого ранга, если закон
преобразования компонент Av совпадает с законом преобразования компонент
dxv линейного элемента. Отсюда следует
38(c)
29
Формальные основы общей теории относительности
закон преобразования:
г "гдх
^ -2-яг^. <4>
а оха
Следуя Риччи и Леви-Чивите, мы обозначаем контраварйантный характер
тензора тем, что поднимаем индекс вверх. Естественно, согласно этому
определению, величины dxv сами являются компонентами контравариантного 4-
вектора; несмотря на это, мы здесь не хотим нарушать общепринятых
обозначений и будем продолжать писать индекс внизу.
Из двух определений непосредственно следует, что выражение
2 AVAV = Ф (36)
v
является скаляром (инвариантом). Назовем Ф внутренним (скалярным)
произведением ковариантного (Av) и контравариантного (Av) векторов.
Из линейности уравнений преобразования (За) и (4) относительно компонент
векторов следует, что из двух ковариантных (или контравариант-ных) 4-
векторов можно получить опять ковариантный (или контравариант-ный) 4-
вектор, если сложить (или вычесть) соответствующие компоненты.
§ 4% Тензоры второго и высших рангов
Ковариантный тензор второго и высших рангов. 16 функций координат А^
называются компонентами ковариантного тензора второго ранга, если сумма
%A^dxWdxW = Ф (5)
является скаляром; при этом величины dx^ и dx^ обозначают компоненты
двух произвольно выбранных линейных элементов. Из соотношения
2 л'^ dx<ty dxi2Y = 2 л^dxi* dxf = 2 it "т лdx<irdx?r
P-v а|3 а, Р, ix, v t1, v
(принимая во внимание, что оно должно выполняться при произвольных -
значениях dx^ и dx^) следуют 16 соотношений:
4. = 2 (5а>
dxv
Эти соотношения опять эквивалентны приведенному выше определению.
Аналогичным образом могут быть определены также ковариантные тензоры
третьего и высших рангов.
331
Формальные основы общей теории относительности
1914 г~
Симметричнмй ковариантный тензор. Если ковариантный тензор в одной
системе координат удовлетворяет условию, что две его компоненты,
отличающиеся только перестановкой индексов, совпадают (Алц - А$х), то это
выполняется, как это видно из уравнения (5а), также и в любой другой
системе координат. Тогда для ковариантного тензора второго-ранга 16
уравнений преобразования сводятся к 10 уравнениям. В случае, если И^у =
для доказательства тензорного характера величин (И^у) достаточно, чтобы
сумма
2 А^у dx^dxу = Ф (56)
была скаляром. Это следует из тождества
/ / / дх дх
2 A^dacy. dx у = ^ Аац dxa dxp = 2 Ааа А- • -4 dxW dxf\
l".v а/3 a^v **
если принять во внимание (5а).
Симметричные ковариантные тензоры высших рангов можно определить
совершенно аналогично.
Ковариантный фундаментальный тензор. В развиваемой теории (c)со.-бую роль
играет величина
ds2 = ^g^dx^dx у,
которую мы будем обозначать как квадрат интервала. Из предыдущего
следует, что является ковариантным симметричным тензором второго ранга.
Мы будем называть его "ковариантным фундаментальным тензором".
Замечание. Ковариантный тензор можно также определить как совокупность 16
величин А^у, преобразующихся так же, как 16 произведений А^ВЧ двух
ковариантных векторов (Н^) и (5^). Полагая
V = и^Ву, (6)
из уравнения (За) получаем
А _ Л-р Ч A дХ* .
а$ V- v a0 Iх v
Отсюда, принимая во внимание уравнение (5а), находим, что величина И^у
является ковариантным тензором. Все сказанное справедливо и для тензоров
высших рангов. Конечно, не всякий ковариантный тензор можно представить в
такой форме, поскольку величины (И^у) содержат 16 компонент, тогда как
величины 4^ и вместе имеют лишь 8 компонент; в силу условия (6) между
величинами А^ существуют также алгебраические соотношения, которым
тензорные компоненты, вообще говоря, не
