Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
Zj (,-^oti3Y..-paT... rXa'P'Y'.-.rsf ) - '^ра-c...rst •
a$Y...a/(3/Y'...
Доказательство того, что С является тензором, следует из комбинирования
обоих вышеуказанных доказательств.
335
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
§ в. О некоторых соотношениях для фундаментального тенаора д
Контравариантный фундаментальный тензор. Записав g^v в виде определителя,
образуем для каждого элемента g^v его алгебраическое дополнение и
разделим их на определитель g = |?^|. Мы докажем, что полученные таким
образом величины (= g^) образуют контравариантный симметричный тензор.
Из этого определения и из известной теоремы об определителях прежде всего
следует, что
= (Ю)
где 6V равно 1 и 0, в зависимости от того, (i = v или u, =f= v6. Далее
И*
2 ga.fi dx* dxp
представляет собой скаляр, который, согласно соотношению (10), можно
положить равным
или
2 g^aS^^adx^.
Согласно предыдущему параграфу, величины
= 2 dxfg^
представляют собой компоненты ковариантного вектора; естественно,
таковыми являются и величины
2 S dx .
"va a
a
Соответственно этому наш скаляр принимает форму
Sfr",rfiv.
[XV г
Так как эта величина есть скаляр, а величины d^ (по отношению к
произвольной системе координат) - компоненты ковариантного 4-вектора и
так как gто легко доказывается, что g^v представляет собой
контравариантный тензор.
8 Согласно предыдущему параграфу, 6^ является смешанным тензором
("смешанный фундаментальный тензор").
336
29
Формальные основы общей теории относительности
Замечание. Согласно теореме умножения определителей
12
С другой стороны,
отсюда следует, что
= 1611 = 1,
I • \П = !•
(11)
Инвариантный объем. В непосредственной близости некоторой точки
пространства, согласно равенству (26), всегда можно положить
ds2 = J] dx-, = 2 dXl,
(12)
если допускать мнимые значения dXa. Для выбора системы dXa имеется еще
бесконечно много возможностей; тем не менее, все такие системы связаны
друг с другом посредством линейных ортогональных преобразований. Отсюда
следует, что взятый по этому элементу объема интеграл
d%l = '\^dX1dXb dX3 dX4
является инвариантом, т. е. не зависит от выбора системы координат.
Найдем для этого инварианта другое выражение. Во всяком случае существуют
соотношения вида
dXQ - ^ 1 dx^j
откуда следует, что
(13)
(14)
dx о - | oCq^, | dx,
где через dx и dx*Q обозначены, соответственно, интегралы \^dx1...dxi и
\^dX1dX2dX3dXi,
взятые по одному и тому же элементарному объему. Кроме того, из равенств
(12) и (13) имеем
и по теореме умножения определителей
I &U.V I ~ I S (aoi".aav) [ - J &av I •
22
А. Эйнштейн, том I
(15)
(16) 337
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
После этого, согласно соотношению (14), получаем
Vld% = dxl, (17)
где для краткости мы использовали обозначение |g[lv| = g. Тем
самым
искомый инвариант найден.
Замечание. Из равенства (12) вытекает, что величины dX0 соответствуют
обычным координатам в специальной теории относительности. В этом случае
три из них вещественны, а одна (например dXi) мнимая.
Поэтому величина dx0 является чисто мнимой. С другой стороны, в
случае
специальной теории относительности при вещественной временной координате
определитель g отрицателен; тогда величины g^v (при подходящем выборе
единицы времени) принимают значения
-10 0 0
0-1 0 0
0 0-1 0 '
0 0 0 1
а поэтому выражение J^g является чисто мнимым. В § 17 будет показано, что
это справедливо в общем случае. Чтобы избежать мнимых значений g^v,
положим
dx0 = ~ ^ dXx dX2 dXz dX4
и, вместо соотношения (17), напишем
Y-gdx = dx0. (17а)
Антисимметричный фундаментальный тензор Риччи и Леви-Чивиты. Мы
утверждаем, что
^Hklm ~ g diklm (1^)
представляет собой ковариантный тензор. При этом величина 6шт
принимает значение +1 или -1, в зависимости от того, каким
числом пере-
становок соседних индексов - четным или нечетным - можно из 1234 получить
iklm.
Для доказательства заметим сначала, что определитель
S "ш(tm) dx? dx? dx? dx? = V (20)
iklm
338
Формальные основы общей теории относительности
с точностью до несущественного числового множителя совпадает с объемом
элементарного пентаэдра, углы которого образованы некоторой точкой
пространства и четырьмя конечными точками произвольных линейных элементов
(сЫ1*), {dxW), (dxf)), {dx$), проведенных из этой точки. Из соотношений
(19) и (20) имеем
S Gikimdxp dx? dx\3) dx{? = Vg V.
iklm
Поскольку правая часть этого равенства, в соответствии с соотношением
(17), представляет собой скаляр, то из свойств величины ЬШт следует, что
Gi/cirn является ковариантным тензором, а именно, антисимметричным
ковариантным тензором.
Отсюда путем смешанного умножения легко построить контравариантный тензор
по схеме
SP ai Bk XI у.т ^iklm fc>..
baBXpg g g g -Or (21)
а.$Ху.
Контравариантный тензорный характер Ga(ix\>. следует непосредствевно из
результатов § 4. При учете соотношения (19) левая часть равенства (21)
принимает вид:
Vg S baBXv.gaigV{gXlg*m;
