Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
/*¦ /"' h- iw
является 4-вектором (К0), разумеется, по отношению к линейным
ортогональным преобразованиям, которые только и допускаются в специальной
теории относительности. Рассматривая соотношения (42) с формальной точки
зрения, нетрудно видеть, что (К0) является дивергенцией тензора Tov. С
физической точки зрения рхх и т. д. означает "компоненты тензора
натяжений", i - вектор плотности импульса, s - вектор потока энергии, т]
- плотность энергии, f - вектор внешних сил, действующих на единицу
объема системы, и наконец, w - энергию, передаваемую единице объема
системы в единицу времени.
Если рассматриваемая система замкнута, то правые части уравнений (42)
равны нулю. Наша задача теперь состоит в том, чтобы найти общеко-
352
29
Формальные основы общей теории относительности
вариантные уравнения, соответствующие уравнениям (42). Обобщенные
уравнения формально также должны, очевидно, характеризоваться тем, что в
них дивергенция некоторого тензора второго ранга приравнивается
некоторому 4-вектору. Но при каждом таком обобщении возникает та
трудность, что в общей теории относительности, в отличие от специальной,
имеются тензоры различного характера (ковариантный, контравариантный,
смешанный и, кроме того, F-тензоры); поэтому необходимо еще сделать
выбор. Этот выбор не вносит, однако, с собой физического произвола; он
сказывается только в том, какие переменные в этом представлении
оказываются выделенными9. Выбор производится так,чтобы уравнения были по
возможности более наглядными, и вводимые величины имели наиболее ясный
физический смысл. Оказывается, что эти условия лучше всего выполняются,
если тензор TGv является смешанным F-тензором которому можно сопоставить
в качестве 4-вектора {Ка) ковариантный объемный
4-вектор (r)0. Взяв, согласно формуле (416), дивергенцию, получим в
качестве обобщения (42) общековариантное уравнение
2-1 дх.,
дх" ^
(42а)
При этом, сохраняя прежние обозначения, компоненты тензора ?а можно
записать в виде следующей таблицы:
V = 1 V = 2 v = 3 v = 4
6 = 1 Рхх Рху Pxz 1х
<3 = 2 Рух Руу Pyz 1У
а = 3 Pzx -Ргу Pzz
<3 = 4 *Н Ц
Компоненты 4-вектора $0 можно представить в виде
6=1 fx
0 = 2 -и
б = 3 -fz
6 = 4 W
(43)
(44)
9 Это связано с тем, что из каждого те нзо ра путем умножения на
фундаментальный тензор или на Y-8 может быть получен тензор иного
характера.
23 А. Эйнштейн, том I 353
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
1 0 0 0 '
0 - 1 0 0
0 0 - 1 0
0 0 0 1
Соответствующий чисто ковариантный (или чисто контраварйантный) тензор
является симметричным. Легко увидеть, что уравнения (42а) переходят в
уравнения (42), если величины принимают значения
(45)
Обсуждение уравнения (42а). Мы рассмотрим сначала частный случай, когда
гравитационное поле отсутствует, т. е. когда все значения постоянны. В
этом случае первый член в правой части уравнения (42а) обращается в нуль.
Относительно изучаемой системы предполагается, что она занимает конечную
область пространства (по хг, х2, х3). Интеграл от какой-либо величины Ф
по координатам хг х2 ж3, взятый по всему объему системы, обозначим через
Ф. Тогда из уравнения (42а) после интегрирования по #i, х%, хь получим
dx __ dx 4 J'
(fri -
-Г2- - w . ах±
Это - теорема энергии и импульса в обычной форме; из нее следует
постоянство энергии ц и импульса t во времени при отсутствии внешних сил.
В этом случае теорема энергии-импульса выражается, собственно, как закон
сохранения, который в дифференциальной форме в случае отсутствия внешних
сил ($а = 0) записывается в виде
Ж
2aJ7= °- <42б>
V
В присутствии поля тяжести, т. е. в случае, когда величины gпеременны,
теорема сохранения не выполняется для рассматриваемых систем
(ограниченных в пространстве) даже тогда, когда компоненты 4-вектора SSj
равны нулю. В этом случае не существует уравнения типа (426), поскольку
не обращается в нуль первый член в правой части уравнения (42а). С
физической точки зрения это обстоятельство соответствует тому, что в
гравитационном поле импульс и энергия материальной системы изменяются со
временем, так как гравитационное поле передает импульс и энергию
материальной системе. Физический смысл первого чцена правой части (42а)
аналогичен, соответственно, второму члену. Компоненты первого
354
29
Формальные основы общей теории относительности
представляют собой взятые с обратным знаком компоненты импульса и
соответственно энергию, передаваемые гравитационным полем единице объема
материальной системы в единицу времени.
Однако в случае исчезновения 4-вектора $0 необходимо потребовать, чтобы
для материальной системы и соответствующего гравитационного поля
существовал единый закон, выражающий постоянство суммарного импульса и
суммарной энергии материи и гравитационного поля. Отсюда вытекает, что
должна существовать совокупность величин V для гравита-ционного поля
такая, что выполняется уравнение
Этот вопрос можно будет исследовать более детально, после того как будут
