Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 130

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 263 >> Следующая

у 1 - д2 '
и =
(52)
/1 - t '
где q - трехмерный вектор скорости, ад - его абсолютная величина. Эти
выражения находятся в соответствии с результатом специальной теории
относительности, если учесть, что, задавая для g^ значение (18), мы тем
самым выбрали в качестве единицы времени "световую секунду" 11.
Если f0 в уравнении (496) обращается в нуль, т. е. если внешние силы
обусловлены исключительно гравитационным полем, то отсюда после умно-dsc4
1
жения уравнения на • - и некоторых простых вычислений получаются
эквивалентные (1) уравнения (23а), описывающие движения материальной
точки в гравитационном поле. Все это доказывает, что тензор в (48)
действительно является тензором энергии движущейся материи.
Тензор энергии идеальной жидкости. Мы дополним теперь формулу
(48) таким образом, чтобы получить тензор энергии идеальной жидкости
х2 (в нормальной системе) угол <р, отличный от ~ . При этом
ds2 = - dx^ - dx| - 2dxi dx2 cos ф - dxg -j- dx dx 2
Тогда, например, -I2=m~^ . Эта величина обращается в нуль, если точка
движется в направлении оси хх. Ясно, однако, что в рассматриваемом случае
а-2-компонента импульса фактически существует и отличается от а^-
компоненты только множителем cos ф. Но если теорема энергии импульса
базируется на уравнении (41) и соответственно формуле (51) для вычисления
импульса и энергии используется ковариантный 4-вектор, то в
рассматриваемом слу-dx2 dx1
чае - /2 = - gwm - т cos Ф == - /1 cos Ф, как и должно быть.
11 См. примечание на стр. 357.
358
29
Формальные основы общей теории относительности
с учетом имеющихся поверхностных сил (давления) и изменения энергии,
связанного с изменением плотности12. Тензор энергии в любом месте среды
нетрудно получить в нормальной системе отсчета, в которой ось d?,
совпадает в рассматриваемой точке с элементом четырехмерной линии тока.
Пусть Ф - (естественно измеренный) объем такого количества вещества,
которое при нулевом давлении занимает объем Ф0 и имеет массу, равную 1.
Естественно измеренная энергия е этого количества вещества при занимаемом
им объеме Ф равна
ф
1 - ^ рс1Ф,
Фо
если допускаются только адиабатические изменения состояния, причем через
р обозначено естественно измеряемое давление. Согласно (52), энергия
покоящейся единицы массы равна 1, когда давление равно нулю. Взя-тый с
отрицательным знаком интеграл представляет собой функцию одного давления
р; мы обозначим его Р. Отсюда энергия на единицу объема получается
умножением на р0 = . Выражение
Ро (1 + Р)
представляет собой плотность энергии.
Искомый тензор задается при нашем выборе системы координат компонентами
- р ООО О - р о о
О 0 - р о
ООО ро (1 + Р)
В произвольно выбранной системе отсчета этот тензор, очевидно, переходит
в
" = - рЫ v~g + Ро (1 + р + Р) ~ 2 v Ж • <48а>
При этом величины р0, р и Р, по нашему определению, являются
12 При этом мы ограничимся, однако, адиабатическими течениями жидкости с
однородным адиабатическим уравнением состояния.
85"
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
скалярами. Полагая, для краткости,
PoV- g(l +JD + Р) = Р*, уравнение (42а) можно представить в виде
- yzrj;°L+yJL(n*" dx* ix
V
dxQ ZJ dxu V °У- ds ds
1 t-. ^ dg.." dx" dx"
p.v
Эти четыре уравнения определяют пять неизвестных функций р причем для
последних справедливо соотношение
dx4
'p-v ds ds
dxv ds
2p -?=1
(r) 11V /V о /-7 о ^
а величина p* является функцией давления p, определяемой из известного
адиабатического уравнения состояния жидкости.
Величины gjxv и 3?0 считаются известными. Уравнения (53) заменяют
уравнения Эйлера, включая уравнение непрерывности. В этом можно легко
убедиться, переходя к случаю специальной теории относительности и вводя
дополнительно предположение, что скорости достаточно малы по сравнению со
скоростью света, а давление мало настолько, что можно пренебречь его
влиянием на инертность.
§ ±±. Уравнения электромагнитного поля
Соображения, которые приводят к общековариантным законам для
электромагнитных явлений, совершенно аналогичны аргументации в случае
специальной теории относительности; поэтому мы будем кратки.
Уравнения электромагнитного поля в вакууме. Пусть и - два дуальных
контравариантных объемных 6-вектора [см. формулу (24)]. Из соотношения
(40) следует, что выражения
^ дх ' ^ дх
V V v V
являются компонентами контравариантных объемных 4-векторов. Если эти
компоненты приравнять нулю, то можно получить уравнения Максвелла в
вакууме в общековариантном виде. Легко убедиться, что эти уравне-
860
29
Формальные основы общей теории относительности
ния переходят в максвелловские, если ввести обозначения компонент 6-
векторов и 3^* по следующей схеме
g23 g31 gl2 gli g24 g3l g23* g31* gl2* gl4* g24* g34*
ЬХ Ьу bz ex CZ Cy ^2
и учесть, что, согласно формуле (24),
$ = $* е* = е,
если для величин g^v взять специальные значения (18).
Плотность зарядов. Ток конвекции. В сопутствующей системе, очевидно,
существует плотность электрических зарядов, являющаяся по своему
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed