Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
определению скаляром. Получающийся отсюда умножением на Y-g F-скаляр мы
обозначим через р(е>. Из него и контравариантного 4-вектора dx
~ мы образуем контравариантный объемный 4-вектор тока конвекции
^(е) ds
Уравнения Лоренца для вакуума. Приписывая все взаимодействия между
материей и электромагнитным полем движению электрических, зарядов в
лоренцовском смысле, следует опираться на уравнения
^ дх, Не) ds
(54>
Они представляют собой основные уравнения электронной теории Лоренца в
общековариантной формулировке. Из них следуют законы, по которым
гравитационное поле действует на электромагнитное поле.
Уравнения электромагнитного поля движущихся тел для случая, когда
рассматриваемые тела имеют равные единице диэлектрическую постоянную и
магнитную восприимчивость. Электрическую и магнитную поляризации тел
следует учитывать только в такой степени, в какой они приводят к
плотностям электрических и магнитных зарядов; электрический и магнитный
"ток поляризации" не должен появляться. Напротив, электрический ток
проводимости необходимо учитывать. Общековариантные уравнения поля для
этого случая будут найдены, если в правой части
80L
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
уравнений учесть как электрический или магнитный ток конвекции, так и
электрический ток проводимости.
Пусть величина р<е) представляет собой суммарную плотность заряда
электронов проводимости и поляризационных в определенном ранее смысле;
( ^хи.\
тогда выражение I р(е) I будет объемным 4-вектором тока конвекции,
создаваемого электронами проводимости и поляризационными электронами.
Пусть величина Р(ТО) представляет собой плотность магнитных зарядов в
определенном выше смысле, появляющихся в результате (жесткой) магнит-
/
ной поляризации. Тогда выражение является объемным 4-век-
тором магнитного тока конвекции.
Равным образом, току проводимости соответствует объемный 4-вектор,
который мы обозначим через (2^). Он определяется тем, что в "нормальной
системе", с одной стороны,
21 = - №
14
?2 = - Х$24, 23 = -Х$3
24 = О,
а с другой:
dx 1 ds
= о,
dx 2 ds
0,
ds
= o,
dx 4 .
~ds~
•Этим условиям можно удовлетворить, положив
а/З
Тогда уравнения поля принимают вид
dx,
v
agy-v* дх,.
2
дх.,
V-
'(Щ ds '
(55)
(56)
Уравнения поля для изотропных электрически- и магнитно-поляризуемых
движущихся тел. Обобщим рассматривавшийся до сих пор случай, приняв во
внимание также электрический и магнитный токи поляризации. При этом будет
предполагаться, что в сопутствующей нормальной системе компоненты поля
пропорциональны этой поляризации.
Уравнения поля для этого случая мы получим из уравнений (56), если в
правые части этих уравнений подставить выражения для объемного 4-вектора
тока электрической или магнитной поляризации. Электричес-
302
29
Формальные основы общей теории относительности
кую поляризацию мы представим контравариантным объемным 4-вектором
(фГе)), компоненты которого в сопутствующей нормальной системе
определяются равенствами
из которого с помощью дивергенции, согласно формуле (40), снова получим
контраварйантный объемный 4-вектор электрического тока конвекции
Заметим, что для нормальной системы компоненты этого вектора имеют
вид
Добавим выражение (59) в правую часть первого из уравнений (56), получим
уравнения, которые в нормальной системе переходят в систему уравнений
Максвелла для покоящихся тел. Тем самым обоснована справедливость
равенств (57) и (58), а также выражения (59).
Для магнитной поляризации, аналогично, положим
откуда для компонент объемного 4-вектора магнитного поляризационного тока
получим выражение
(57)
а/3
Образуем из этого объемного 4-вектора объемный 6-вектор
(58)
(59)
v
dt
д(°(е)*у) . 5 (б(е) "Д.
я* > я* '
dt ' dt
, d(g(e)S> , dH)*z)
ду dz
(58а)
(57а)
Формальные o^hobjj общей теории относительности
1914 г.
Тогда уравнения поля принимают вид
V
2j дх" Р(т) ds
dxv Р(т) ds '
(60)
v
причем величины & связаны с 6-векторами поля соотноше-
ниями
Вывод баланса энергии-импульса в смысле уравнения (42а) также не вызывает
затруднений. Однако предыдущее рассмотрение в достаточной мере
показывает, как надлежит записать уже известные законы природы в
общековариантном виде.
В последнем разделе коэффициенты , понимаемые с физической точки зрения в
качестве компонент гравитационных потенциалов, рассматривались как
заданные функции координат xv. Теперь надо найти дифференциальные
уравнения, которым удовлетворяют эти величины. Теоретикопознавательное
значение развивавшейся до сих пор теории состоит в том, что она
удовлетворяет принципу относительности в его наиболее широком смысле. С
формальной точки зрения это основано на том, что система уравнений
общековариантна, т. е. ковариантна по отношению к произвольным
преобразованиям координат.
После этого представляется необходимым, чтобы дифференциальные уравнения
для g^ были также общековариантны. Однако мы покажем, что это требование
