Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
собственными функциями оператора (8.29); как мы видели, спин-орбитальное
взаимодей-
Угловой момент и группа 5?з
229
ствие (8.27) перемешивает эти функции. Таким образом, слагаемые (8.27) и
(8.29) играют противоположные роли: первое из них стремится связать I и s
в определенное результирующее /, а второе- напротив, стремится разделить
их и оставить волновые функции в виде простых произведений с
определенными То; и ms. Мы остановимся далее лишь на случае слабого поля,
когда поле В настолько мало, что расщепление, вызванное членом (8.29),
намного меньше расщепления, вызванного членом (8.27). В этом пределе
действие магнитного поля сводится к снятию (2/-f 1)-кратного вырождения
уровней nlj, обусловленных спин-орбитальным взаимодействием. Оператор
(8.29) инвариантен относительно группы 5? 2 вращений вокруг оси z, и
потому вырождение снимается до расщепления на синглетные уровни,
соответствующие одномерным неприводимым представлениям группы 5?2 и
отмеченные индексом m-j, /'-1, . . ., -Здесь мы находим пример
возмущения, нарушающего симметрию, о котором в общих чертах говорилось в
гл. 5, § 8. Чтобы найти сдвиг уровня энергии при каждом7т., следует
вычислить среднее значение
<]'т | Iz-f2sz| jm).
Мы пользуемся здесь обозначениями, введенными в гл. 5 после формулы
(5.8), с тем дополнительным упрощением, что опущен символ Ф и оставляются
лишь существенные индексы jm.
Рассуждения, подобные проведенным в гл. 7, § 4, п. Е, показывают, что Ins
- векторные операторы и, значит, сумма lz+2sz тоже есть компонента
векторного оператора. По теореме Вигнера - Эккарта [формула (7.53)]
матричные элементы этого оператора пропорциональны матричным элементам
любого другого векторного оператора (гл. 7, § 4, п. Ш). Поэтому, в
частности,
<jm [\a + 2sg | jm> = АУ (jm |\г | jmy = тАр (8.30)
где' А] - константа, не зависящая от т. Простейший способ вычислить эту
константу состоит в том, чтобы прежде всего выбрать максимальное значение
m=Z+V2, что возможно лишь при 7 = Z-P/2, причем в этом случав волновая
функция представляется в виде простого произведения с mt~l, ms=V2- Тогда
из равенства (8.30)
230
Глава 8
следует, что
4/+v. = (* + W + Vf). (8.31)
Чтобы найти Ai-Чг, рассмотрим два возможных состояния с т=1-1/2. В
связанном базисе этим состояниям соответствуют значения индекса и 1 =
1-72, тогда
как в мультипликативном базисе - значения индексов m,i=l, ms=-V2 и
rrii=l-1, ms=Jr1/2. Не рассматривая общего преобразования между этими
двумя базисами, мы можем найти искомую константу, приравняв друг другу
следы оператора I2+2sz, вычисленные в обоих базисах, и применив равенство
(8.30):
г+2(-1)+(г-1)+2(1)=(Л/+1/,-{-;Л/_,/2) (z-j),
так что 2. Отсюда, учитывая равенство
(8.31), получаем ^/_i/2=Z/(Z-bV2). Более общий метод - написать выражение
для среднего значения
<jm | (I + 2s) • j | jm> = Aj <fm | j • j | jm> = / (/ +1) Aj (8.32) и
затем вычислить в левой части скалярное произведение (l + 2s)-j = l2 +
2s2 + 3!.;s = 4ja-y]2 + ~s2.
Таким образом, если использовать обозначение nlj, уровень ls./2
расщепится на два уровня с яг=±1/2, сдвинутых, по энергии на ±1 в
единицах Вр . Уровень 2рч, расщепится тоже на два, но со сдвигом на ±х/3,
а уровень 2ру, - на четыре уровня: два с m=±s/2 и сдвигами ±2, и два - с
лг=±х/а и сдвигами ±2/3. Такое расщепление, называемое зеемановским,
показано на рис. 8.1, в.
В гл. 5, § 6 были высказаны общие соображения относительно правил отбора
дипольного излучения, соответствующих группе 5?а. Рассмотренный пример
показывает, что для излучения, поляризованного в плоскости ху (Дпг=±1),
линия поглощения, соответствующая переходу ls->-2p, расщепляется на шесть
линий (рис. 8.1, в). Относительные интенсивности переходов также можно
вычислить на основании соображений симметрии (т. 2, приложение 5, § 3).
Угловой момент и группа
231
§ 6. СТРОЕНИЕ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ АТОМОВ
А. Гамильтониан
Для иллюстрации дальнейших проявлений (52 #-сим-метрии в физических
системах мы от атома водорода перейдем к строению многоэлектронных
атомов. Для нейтрального атома с зарядом ядра Ze и Z электронами можно
записать гамильтониан в виде
Четыре слагаемых в выражении (8.33) соответствуют кинетической энергии,
кулоновскому притяжению электронов к "неподвижному" ядру, кулоновскому
отталкиванию между всеми парами электронов и спин-орбиталь-ному
взаимодействию, введенному в § 4. Приближение, в котором ядро
рассматривается как неподвижное, допустимо, поскольку масса ядра более
чем в 1800 раз превышает массу электронов. Очевидно, что все вклады в
гамильтониан (кроме третьего слагаемого) представляют собой суммы
одночастичных операторов. Поэтому, как и в гл. 6, § 3, это приводит к
сепарабельному решению Z-частичного уравнения Шредингера. Даже третье
слагаемое частично эквивалентно сумме одночастичных операторов, поскольку
сумма сил отталкивания, испытываемых отдельным электроном со стороны
остальных, аналогична одному эффективному отталкиванию со стороны ядра,
