Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
содержит представление D*1*. В обозначениях формулы (4.46) очевидно
равенство поскольку имеется
только одна функция с то=1. Действуя на Ч1^1' [формула (7.40)] понижающим
оператором [формула (7.11)] J_=J_(l)+J-(2), где J_(l) - оператор,
действующий на функцию ф, a J_(2)-
на функцию г|), постройте вектор Чго'^ и затем найдите коэффициенты
Клебша - Гордана СДД'/гД V2-V 2О) п С (1/г 1/з 1) - V2 V2 0) [в
обозначениях формулы (4.46)].
7.8. Вычислите коэффициенты Клебша - Гордана, выделяющие из произведения
представлений О<Х>0О(2> вектор с /=1, т= 0. Вычисления нужно проводить в
такой последовательности: I. Записать вектор 4ri1> в виде
Ч41)="ф11Ч'о2)Н"Рфо1>ф12)~Ь +Уф(_11,'ф22) и с помощью условия J + 4f<1) =
0 вычислить отношения а : |3 : у. (В силу линейной независимости векторов
из любого соотношения типа яфРф?2)+&фо'Ч,22>=0 следует, что a=b^-Q.) II.
Найти числа а, (5, у, считая, что они нормированы условием а2+Р2+у2=1, а
число а положительно. III. Действуя понижающим оператором J_ на вектор
11г11), получить вектор Чго1>.
Непрерывные группы и их представления 211
7.9. Взяв коэффициенты Клебша - Гордана из задачи 7.7 и формулу для
произведения D-матриц в конце § 4, п. Г, получите из матрицы заданной
формулой (20.38), матрицу D<1).
[Результат должен согласоваться с общей формулой (20.40).]
7.10. Постройте сферические функции У(т методом, изложенным в § 4, п. Д.
Проверьте полученные выражения по общей формуле (7.48).
7.11. Применив понижающий оператор, покажите, что набор трех функций -(x-
\-iy)!2^''2\ z и (х-гг/)/2*'^ принадлежит представлению D(1).
7.12. Функции фга с индексами т-2, 1,...,-2, построенные в §4, п. Д,
преобразуются по представлению D<2> и образуют тензор-оператор ранга два.
Поэтому, согласно теореме Вигнера - Эккарта [формула (7.53)], все их
матричные элементы для векторов базиса задачи 7.11 должны быть связаны с
одним приведенным матричным элементом. Проверьте это для некоторых
матричных элементов двумя способами: а) пользуясь формулой (7.53) с
коэффициентами Клебша - Гордана из задачи 7.8; б) вычислив интегралы с
использованием скалярного произведения из § 2, п. Г, т. е.
проинтегрировав по единичной сфере.
7.13. Покажите </' || J |)/>= {/ (/+1)} /*. [Запишите оператор J2 в виде
J2 = VJjJj п вычислите матричный элемент </m | J21 /т>,
проводя суммирование по "промежуточным состояниям" V <}т I lq I jm'y </т'
I J+ | /го> с помощью формулы (7.53) и
qymf
соотношения нормировки для коэффициентов векторного сложения.
7.14. Докажите, что коэффициенты Клебша - Гордана С (НО, т-т 0) имеют
следующий простой вид:
C(l, I, 0, т -т 0) = (-l)'-'7(2Z + l)'/2.
Указание.Воспользуйтесь методом задачи 7.8. Для этого нужно
а) записать вектор Ч'о0' в виде Ч'о0>=2?' (^0> т-ягО) фт' ф_(т',
т
б) из условия J + 'Fo°>=0 найти соотношения между коэффициентами; в)
применить соотношение нормировки и условие С (ПО, I -Ю)>0.
Постройте из пяти сферических функций инвариант относительно
преобразований из группы
7.15. Покажите, что для группы 57 ?, общее определение (7.61) оператора
Казимира приводит к оператору G= -1/2J2.
8
УГЛОВОЙ МОМЕНТ И ГРУППА ПРИЛОЖЕНИЕ К СТРУКТУРЕ АТОМА
В гл. 7 мы исследовали свойства группы Э13 и отметили связь между
инфинитезимальными операторами этой группы и операторами углового
момента. В данной главе мы рассмотрим эту связь подробнее на примере
сначала одной частицы, а затем и системы частиц, причем введем понятие
внутреннего спина. Далее будет рассмотрен реальный пример атомной
структуры, в котором неоднократно проявляется наличие симметрии ,%3. Мы
не ограничимся атомом водорода, но рассмотрим также многоэлектронные
атомы.
§ 1. ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Если гамильтониан сферически-симметричен, что означает отсутствие
выделенных направлений в пространстве, то его группой симметрии является
группа Э13. Поэтому для него будут справедливы все общие следствия,
перечисленные в гл. 5. Познакомившись с группой Zh3 в гл. 7, мы можем
теперь более детально рассмотреть эти следствия.
Прежде всего, каждое собственное значение несет индекс /'=0, V2, 1, . . .
неприводимого представления D<;) группы Zh3. Каждый уровень энергии Е
будет вырожденным с кратностью 2/+1, причем соответствующие собственные
функции образуют базис представления D(/). Эти собственные функции можно
различать по их поведению при поворотах вокруг некоторой выбранной оси
(назовем ее осью z). Это соответствует разложению (7.38)
/
D(/> - 2 T(m)
m=-i
(8.1)
Угдовой момент и группа Яз
213
представления D(P на неприводимые представления Т(ш) подгруппы Я 2-
Поэтому все уровни энергии можно обозначать через E(yj), а волновые
функции - через ip (yjm), где у - совокупность всех остальных квантовых
чисел, не имеющих отношения к вращательной инвариантности.
Поэтому волновая функция ip (yjm), как мы видели в гл. 7, является
собственной функцией двух операторов: оператора iz бесконечно малых
вращений вокруг оси z и оператора Казимира J2. Из равенств (7.39) и
