Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
соответствует также определенное спиновое состояние. Спиновое состояние
частицы может быть представлено вектором-столбцом с
/ О V2 0\
=4 V2 О У2 \
\ О V2 О/
о \ /10 0\
-1/2 ,sz=(00 О). (8.15)
0 / \0 0 -1/
222
Глава 8
2s+l компонентами. Если ввести обозначения
г Г '0'
0 1
7(S) - Xs - - О II • о
V >
ит. д.,
то произвольную волновую функцию (8.16) можно за писать в виде
'Ф, (г)
ip = | Ф*-1(Г) |. (8.17)
Считается, что спиновые состояния образуют ор-
тонормированную систему базисных векторов в (2s+l)-мерном векторном
пространстве, описывающем спиновое состояние частицы. Иными словами,
предполагается существование скалярного произведения, обладающего
свойством
( 04 y(s) = 6 '.
\Ams' Kms) ms'm*
Для двух полных волновых функций f и f, определенных равенством (8.16),
скалярное произведение предполагается содержащим две операции:
интегрирование по пространству координат г и скалярное произведение в
спиновом пространстве, т. е.
О?, ?)= 2 $ф*; (г)фтДг)Л-(х|Ч> зС) =
msm s
= 2 Г фт, (Г) фms (Г) dr.
ms J
Действие вращения на Y состоит в изменении как ср, так и х, а потому на
основании формул (3.37) и (8.14) имеем
T(R)? = S9m5(R"1r)(x^)'.
Угловой момент и группа 5?з
22а
При малом вращении вокруг оси z на угол а имеем по определению (7.4)
[вводя, как указано перед формулой
(7.26), множители i]
Т (R) Y " 2 (1 - ialz) Фш? (г) ;(1 - iasz) "
: 2 [1 - ia ilz + s,)] (г) :
ms S
[1 -ia{l, + 8z)]4.
(8.18)
Таким образом, инфинитезимальным оператором для полной волновой функции
Ф- является сумма lz-\-sz орбитального п спинового угловых моментов.
Введем обозначение jz=lz-\-sz и будем далее называть / полным угловым
моментом частицы (в единицах %).
Действие конечного вращения R (а) на функцию Ф таково:
т(Ю^ = 2ф^(к-1г)(уД)' =
= 5]фт,(К lr)2Dm',
("))?' =
= (а) Фт (R-1 г)\ х<*>>. (8.19)
m's [ms S f J s
Поэтому если ввестп теперь преобразованные функции срт- (г), определив их
равенством Т (R)?= У ф,"- (г)хт!,
m-s
или с учетом выражения (8.17) равенством
Ф* (г)
Ф^-Дг)
Т (R) ф =
)
то получим
W=SDl (а)фт (R-r).
mQ т " ms s J
(8.20)
Заметим, что суммирование здесь проводится по второму индексу матрицы
вращения, а не по первому, как было в формуле (8.14). Это объясняется
тем, что равен-
224
Глава 8
ство (8.20) выражает преобразование "координат", а не базисных векторов.
Действие вращения на ? [формула (8.19)] выражается в преобразованиях как
функций координат, так и спиновых состояний. В ряде случаев удобно
рассматривать действие вращения на эти две части волновой функции
раздельно. Операторы sq можно рассматривать как ин-финитезимальные
операторы группы вращений Щ в спиновом пространстве, тогда как операторы
1д описывают группу вращений 9tl3 в пространстве координат. Набор из
шести операторов rq, lg описывает прямое произведение групп Э13ХЭ13, а
три оператора jg=Sg+lg- подгруппу 9{3 одновременных вращений в обоих
пространствах.
Рассмотрим волновую функцию (8.16) в частном случае, когда частица
находится в определенном спиновом состоянии ms, а также в определенном
орбитальном состоянии с угловым моментом I и проекцией mi. В этом случае
волновая функция имеет вид простого произведения
1?(lsmtms) = yimi( г)%?К (8.21)
При фиксированных I и s существует всего (2s+l) (2Z+1) таких
^произведений, соответствующих всем возможным различным значениям тг и
ms. Под действием вращений этот набор будет преобразовываться по
произведению представлений D(/) (x)D<s) группы Э13, причем, согласно
результатам § 3, для этого произведения справедливо разложение
P + S)
D<'>(g)D!s>= 2 D">. (8.22)
/=i г-s i
Таким образом, как и в случае двух орбитальных угловых моментов, полный
угловой момент определяется правилом векторного сложения:
i - - 1), ..., ]/ s |. (8.23)
Собственные^функции полного углового момента j=l-\-s строятся аналогично
из простых произведений (8.21) с коэффициентами векторной связи:
Т1 (Isjm) =2 с VsI* mtmsm) ф/т; (г) . (8.24)
т1
(т5 = т-тг)
Угловой момент и группа 5%3
225
Двузначность представлений с полуцелым индексом не приводит к какой-либо
неоднозначности в коэффициентах векторной связи, поскольку последние
определяются коммутационными соотношениями между инфинитезимальными
операторами. Однако нужно быть осторожным при анализе конечных вращений.
Рассмотрим, например, вращение вокруг оси z:
R* (а) - exP (- ima) Фу".
причем, если т. - полуцелое, то
&Z (2я) Ф}т = ехР (- 2nmi) ф, т = - ф/я.
Изменение знака волновой функции под действием операции, возвращающей
систему в прежнее физическое положение, не приводит к каким-либо
противоречиям, поскольку знак волновой функции не имеет никакого
физического смысла. Необходимо, однако, внимательно следить за
согласованностью различных стадий любого вычисления. (В т. 2, гл. 18, §
13 мы покажем, что полуце-лые представления можно рассматривать как
однозначные представления несколько более широкой группы, чем 5is.)
Теперь мы можем учесть вклад магнитного момента, обусловленного спином
