Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 68

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 122 >> Следующая

Пространство параметров группы 54 3 представляет собой шар радиусом я
(§4), причем противоположные концы любого диаметра этого шара
соответствуют одинаковым вращениям, т. е. Rt(n)=R_k(n) для любого вектора
к. Путь из единицы группы, т. е. из начала координат а=0, либо прямо
ведет в заданную точку а (I на рис. 7.3), либо сначала доходит до
граничной сферы, а затем возобновляется на противоположном конце диаметра
(II на рис. 7.3). Интересным отличием группы 54з
208
Глава 7
от группы 912 является то, что в группе 913 любой путь, который четное
число раз подходит к граничной сфере, можно непрерывно деформировать в
путь, который прямо ведет в конечную точку. Путь же, который подходит к
граничной сфере нечетное число раз, можно также деформировать в путь,
который подходит к граничной сфере лишь
Рис. 7.3.
однажды (П на рис. 7.3). Поэтому для группы 9ia возможны лишь однозначные
и двузначные] представления. Для пути, дважды подходящего к граничной
сфере, на рис. 7.3, III показана последовательная деформация от положения
а к положению б, а затем к положению в. При этом диаметр АА'
поворачивается до тех пор, пока точка А не достигнет точки В'.
§ 7. КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В общем случае, если Т - матричное представление группы, то матричным
представлением будет также множество комплексно-сопряженных матриц Т*.
Для группы
Непрерывные группы и их представления
20"
5?g представление Dl;)* имеет тот же характер, что и представление D1-'0,
так как характер (7.42) - действительная функция. Следовательно, эти
представления эквивалентны. Найдем пребразование, связывающее эти
представления. Прежде всего заметим, что матрицы (7.39) и (7.40)
операторов Jz и J± действительны. Значит, матрицы операторов Jz и Jx
действительны, а матрица оператора 1у - чисто мнимая. Поэтому при
переходе от представления к представлению D(/>* из-за множителя i в
определении оператора iq (§ 4, п. А) знак операторов Jz и Jx должен
меняться, а оператор Jy остается неизменным. Иначе говоря, Jz-+-Jz и Ji-
*--
Из формул (7.39) и (7.40) видно, что такое преобразование получается при
замене базиса ет базисом (-1 У~т е_т. Фазовый множитель нужен для того,
чтобы изменить знак повышающего и понижающего операторов.) Таким образом,
матричные элементы представления kDV)* имеют вид
Л </)* - ( Л\т-т>Т)ф
um'tn-V L) LJ-tn'-m•
Такое преобразование векторов базиса можно также осуществить с помощью
матрицы D"'* (R?/(n)), соответствующей повороту на угол п вокруг оси у,
так как при таком вращении меняется на обратное направление осей х ж z.
ЛИТЕРАТУРА
Последовательное изложение теории групп Ли можно найти в книге Бёрнера,
1963 (см. литературу к гл. 4) и в книге
Gilmor<o R., Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications,
W^ey, New York, 1974.
Теория углового момента, а также коэффициенты векторного сложения для
группы подробно разобраны в книгах
Brink D. М., Satchler G. R., Angular Momentum, Clarendon Press, Oxford,
1968.
Юцис А. П., Бандзайтпис А. А. Теория момента количества движения в
квантовой механике.- Вильнюс: Москлас, 19771).
Таблицы коэффициентов векторного сложения для группы Мз приведены в книге
Rotenberg М., Bivins R., Metropolis N., Wooten J, К., The 3-j and 6-j
Symbols, Technology Press, М. I. Т., Cambridge, Mass., 1959.
Следующий сборник содержит среди других работ оригинальные статьи Рака, в
которых впервые введены алгебраические соотношения для углового момента:
*) Добавлено при переводе.- Прим. ред.
210
Глава 7
Biedenharn L. С., van Dam Я., Quantum Theory of Angular Momentum,
Academic Press, New York, 1965.
Оператор Казимира описан в работе
Racah G., Rend. Accad. Lincei, 1950, v. 8, p. 108.
ЗАДАЧИ
7.1. На основании примера 2 из § 3, п. Г докажите, что функции x±iy
преобразуются по представлениям т(±1> группы $1 г-Классифицируйте шесть
квадратичных функций переменных х, у и z в соответствии с их
трансформационными свойствами по отношению к группе
7.2. Объясните, почему несобственные вращения (с определителем, равным -
1), взятые сами по себе, не образуют группу.
7.3. Введя декартовы координаты, запишите инфинитезимальныи оператор
(7.20) вращений вокруг оси г в виде Х, = у (д/дх) - -х(д!ду).
Рассматривая соответствующие выражения для инфинитезимальных операторов
вращений вокруг двух других осей, проверьте перестановочные соотношения
(7.25).
7.4. Покажите, что [J+, J_] = 2J7 и [J2, J?] = 0. [Нужно воспользоваться
соотношениями (7.26.]
7.5. С помощью равенств (7.40) постройте матрицы операторов lx, iy и К
при /=1/2 (матрицы Паули), а также соответствующие матрицы при /= 1
[формула (8.15)].
7.6. Найдите характер представления D(2> группы 5?3 для вращений,
принадлежащих подгруппе D3. На основании таблицы характеров (табл. 4.2)
найдите представления группы Ds, которые получаются при разложении
ограничения представления D(2> на подгруппу D3.
7.7. Согласно равенству (7.44), произведение представлений 0Ы1</2'
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed