Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда
я„(/)==а«у , н12(ї) = H2Af) = ^, H2Af) = «u+a
где D = а,,а22 — ?i2a21 — (2nZ)2 + /2itf (аи + а22).
Наконец, воспользовавшись равенствами (8.4.12) и (8.4.14), получаем авто- и взаимный спектры двумерного процесса
Г if) ^ + (2nf)^ Р> + а'2С'
IO
г tf\ _ + (2я^']ст2
1 22 U ; — рд |2
I2
/а - c22o21p1 - o1 ,a12g| - /2jtf (Q12(T2 - o21ct1)
Взаимные спектры дискретных двумерных линейных процессов.
Выражения для авто- и взаимных спектров дискретных двумерных линейных процессов можно получить аналогичным образом. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим дискретный двумерный процесс (8.1.20)
X и = 0,6J1,.., — 0,5?-, + Z11,
Xn = 0,4XU_, + 0,5?-, + Z2t,
где Z1/, Z2i — некоррелированные белые шумы. Взяв г-преобразо-вание, получим
X1 (z) = 0,62-1X1 (г) - 0,5г-1 X2 (г) + Z1 (г),
X2 (z) = 0,4z-' X1 (г) + 0,52"1X2 (2) + Z2 (г).
Эти уравнения можно решить относительно X1 (г), X2(z)
(1-0,5г-1) 2. (z)-0,52-'Z2 (г)
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
115
Делая замену z = e'2at, получаем частотные характеристики где
D=I- 1,16-/^ + 0,56-'4"' =
= 1 — 1,1 cos 2л/ + 0,5 cos 4л/ -+-/(1,1 sin 2л/ — 0,5 sin 4л/).
Наконец, воспользовавшись равенствами (8.4.12) и (8.4.14), получаем авто- и взаимный спектры двумерного процесса
Г„(/) =
а\ (1,25 -cos 2nf) + o\ (0,25)
|?>12
с? (0,16) 4-ff2, (1,36- 1,2 cos 2я/)
1 22 (/) = j~?JT[2 '
Г12(/)= (8.4.15)
erf (- 0,2 + 0,4 cos 2nf) 4- о\ (0,3 - 0,5 cos 2nf) - j sin 2nf (0,4cr2 + 0,5<x2) = [Df '
где I D I2 = 2,46 - 3,3 cos 2л/ + cos 4я/.
В частном случае при а2 = а2=1 равенства (8.4.15) сводятся к
1,5 — cos 2я/
T11 (f)<
I D I2
г ,А _ 0,1 (1 - cos 2nf) - j (0,9) sin 2я/ 112 U)--ГЩі •
8.4.4. Квадрат спектра когерентности
В разд. 8.4.2 было показано, что корреляцию входа и выхода линейной системы на частоте / можно было бы описать с помощью квадрата коэффициента когерентности х22(/). Этот коэффициент напоминает коэффициент корреляции для каждой из частот. Он измеряет влияние шума в системе, причем высокому уровню шума соответствует малый коэффициент когерентности и наоборот. В гл. 11 будет показано, что спектр когерентности существует у любого двумерного случайного процесса. В настоящем же разделе мы проиллюстрируем это основное понятие, вычислив спектр когерентности двумерного линейного процесса.
116
Глава 8
Рассмотрим двумерный линейный процесс, изображенный на рис. 8.5. Он имеет следующие авто- и взаимные спектры:
Tn (/) = а?|Яп(/)|2 + аЦЯ12(/)|2,
T22 (/) = a] I H21 (/) |2 + а21 H22 (/) |2, (8.4.17)
T12 (/) = о\Н*и (f) H21 (/) + а|Я;2 (/) H22 (/).
Квадрат спектра когерентности двумерного процесса можно теперь получить, подставляя (8.4.17) в (8.4.10). В результате получим
12 Tn (f) T22(f) Tn(f)T22(f)- (».4.18)
Рассмотрим далее некоторые частные случаи формул (8.4.17) и (8.4.18).
Случай 1. Предположим, что a12(W) — 0, а22(и) = 0, так что #12(/) =0, H22(I) =0. Тогда
аЦЯцЩЯ,, (/)] I ^n(Z) Г|% tf)|
Воспользовавшись (8.1.14) при hi2(u) =0, /122(«) =0, получаем
X1V) = / A11 (и) Z1V -и) du,
о
со
X2 (t) = J a21 (и) z1 (z - w) du.
Следовательно, квадрат коэффициента когерентности тождественно равен единице. Это означает, что процесс X2(t) можно полностью восстановить по Xi(t). Для этого нужно было бы превратить X1 (Z) в белый шум Zi(t) с помощью фильтра, имеющего частотную характеристику 1//Z11(Z), и затем получить X2(t) из Z1(Z).
Случай 2. Предположим, что в (8.1.14) a21(w) =0, a12(w) = 0, так что
*i (0 = / H11(U)Z1(I-и)du,
о
со
X2 V) = j" a22 (w) z2 (z — и) du.
о
Из (8.4.17) видно, что Г12(/) = 0 и, следовательно, и22(/) = 0. Так как z1(z) и Z2(I)—два различных белых шума, то из равенства
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
117
коэффициента когерентности нулю следует, что невозможно восстановить, или предсказать, X2(t) по X1 (г).
Случай 3 (пример 2 из разд. 8.4.1). Значения квадрата коэффициента когерентности между 0 и 1 соответствуют случаям, где X2(t) можно частично восстановить, или предсказать, по Xi(t). Рассмотрим, например, двумерный процесс (8.4.2), для которого
as -
%2t = %2t + ?l^[f
Следовательно, Hn(D=U
H22(D=U H12(D=O, Hn(D=
= ?,, и если a\ = a\, то
i + f
0,7
0,6
0,5
OA -
0,3
0,1
Таким образом, при ?i = 0 о,г квадрат коэффициента ко- -герентности обращается в нуль и при ?i—«-со стремится к единице. Это следовало ожидать, так как при ?i—+0 шум преобладает над сигналом, а при ?i—> oo, наоборот, сигнал ?iZit превосходит шум.
0,125
0,25
0,375
о,5 f,m
Рис. 8.9. Теоретический спектр когерентности двумерного процесса авторегрессии (8.1.20).
Случай 4 (влияние задержки). Рассмотрим двумерный процесс, обсуждавшийся в третьем примере из разд. 8.4.1, а именно
X2t = Z 2t + ?iZlt-a, X и = Zn-
При a\ = а2 квадрат спектра когерентности равен
*12(D =
1 + 1
что совпадает с выражением для х22(/) из предыдущего примера.
Однако, как показано в разд. 8.4.1 и как видно из рис. 8.8, а и 8.8,6, процессы из этих двух примеров имеют заметно отличающиеся фазовые спектры. Таким образом, квадрат спектра когерентности не выявляет каких-либо фазовых отличий этих двух
